Номер 10.39, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.39. Точка $M$ — середина ребра $BC$ тетраэдра $DABC$. Известно, что $AD = AB = CB = CD = 10$ см, $AC = 8$ см, $BD = 12$ см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $BD$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Рассмотрим тетраэдр $DABC$. По условию, $AD = AB = CB = CD = 10$ см, $AC = 8$ см, $BD = 12$ см. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Требуется построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $BD$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = AD = 10$ см, то он равнобедренный. Пусть $H$ — середина основания $BD$. Тогда $AH$ является медианой и высотой этого треугольника, следовательно, $AH \perp BD$.

2. Рассмотрим треугольник $CBD$. Так как $CB = CD = 10$ см, он также равнобедренный. Медиана $CH$ к основанию $BD$ является и высотой, то есть $CH \perp BD$.

3. Прямые $AH$ и $CH$ пересекаются в точке $H$ и обе перпендикулярны прямой $BD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(AHC)$.

4. Искомая плоскость сечения $\alpha$ по условию также перпендикулярна прямой $BD$. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Значит, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(AHC)$.

5. Теперь построим сечение. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ (середину $BC$) и параллельна плоскости $(AHC)$.

• Плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCD$ по прямой, проходящей через $M$ и параллельной $CH$. Обозначим точку пересечения с ребром $CD$ как $L$. Так как $M$ — середина $BC$ и $ML || CH$, то по теореме Фалеса $L$ — середина $CD$.
• Плоскость $\alpha$ пересекает грань $ACD$ по прямой, проходящей через $L$ и параллельной $AC$ (так как $AC \subset (AHC)$). Обозначим точку пересечения с ребром $AD$ как $K$. Так как $L$ — середина $CD$ и $LK || AC$, то $K$ — середина $AD$.
• Плоскость $\alpha$ пересекает грань $ABD$ по прямой, проходящей через $K$ и параллельной $AH$. Обозначим точку пересечения с ребром $AB$ как $N$. Так как $K$ — середина $AD$ и $KN || AH$, то $N$ — середина $AB$.
• Соединив точки $N$ и $M$, мы получим отрезок $NM$, который является средней линией треугольника $ABC$ и, следовательно, параллелен $AC$. Это подтверждает правильность построения.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $MNKL$, вершины которого являются серединами ребер $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Нахождение площади сечения

Рассмотрим четырехугольник $MNKL$.

Поскольку $N$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, отрезок $NM$ является его средней линией. Следовательно, $NM || AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Аналогично, $K$ и $L$ — середины сторон $AD$ и $CD$ треугольника $ADC$, поэтому $KL$ — его средняя линия. Следовательно, $KL || AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC = 4$ см.

Так как $NM || AC$ и $KL || AC$, то $NM || KL$. Поскольку $NM = KL = 4$ см, четырехугольник $MNKL$ — параллелограмм.

Теперь найдем длины двух других сторон. $N$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $AD$ треугольника $ABD$, поэтому $NK$ — его средняя линия. Следовательно, $NK || BD$ и $NK = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Таким образом, $MNKL$ — параллелограмм со сторонами $NM = 4$ см и $NK = 6$ см.

Чтобы найти площадь параллелограмма, определим угол между его сторонами. Угол между сторонами $NM$ и $NK$ равен углу между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$, так как $NM || AC$ и $NK || BD$.

В тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны, если суммы квадратов длин противоположных ребер равны. Проверим это условие для ребер $AC$ и $BD$. Противоположными им ребрами являются пары $(AB, CD)$ и $(AD, BC)$.

$AB^2 + CD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.

$AD^2 + BC^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.

Так как $AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$, то прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Следовательно, угол между $NM$ и $NK$ равен $90^{\circ}$.

Это означает, что параллелограмм $MNKL$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $MNKL$ равна произведению его смежных сторон:

$S_{MNKL} = NM \cdot NK = 4 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: 24 см$^2$.