Номер 10.34, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.34. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Дано:

Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).

Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Доказать:

Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Доказательство:

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Для доказательства, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, достаточно показать, что прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $\beta$.

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $B$. Выберем в плоскости $\beta$ произвольную прямую $b$, проходящую через точку $B$. Нам нужно доказать, что $a \perp b$.

1. Проведём через прямую $a$ и прямую $b$ плоскость $\gamma$. Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, такая плоскость существует и она единственна.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой $c$.

3. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), а плоскость $\gamma$ пересекает их, то линии пересечения $b$ и $c$ параллельны друг другу. То есть, $b \parallel c$.

4. По условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Так как прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то $a \perp c$.

5. Мы получили, что $b \parallel c$ и $a \perp c$. Согласно лемме о перпендикулярности прямой к одной из параллельных прямых, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Следовательно, $a \perp b$.

6. Так как прямая $b$ была выбрана в плоскости $\beta$ произвольно, то прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через точку $B$.

7. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, это означает, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.