Номер 10.28, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.28. Через концы $A$ и $B$ и точку $C$ отрезка $AB$, не пересекающего плоскость $\alpha$, проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 15$ см, $BB_1 = 25$ см, $AC : BC = 1 : 4$.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны между собой: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$. Точки $A$, $C$ и $B$ лежат на одной прямой, следовательно, их проекции $A_1$, $C_1$ и $B_1$ также лежат на одной прямой. Таким образом, точки $A$, $B$, $B_1$, $A_1$ лежат в одной плоскости и образуют трапецию $ABB_1A_1$ с параллельными основаниями $AA_1$ и $BB_1$. Отрезок $CC_1$ соединяет боковые стороны этой трапеции и параллелен её основаниям.

Для нахождения длины отрезка $CC_1$ применим метод, основанный на свойствах подобных треугольников. Проведем в плоскости трапеции через точку $A$ прямую, параллельную стороне $A_1B_1$. Пусть эта прямая пересекает отрезки $CC_1$ и $BB_1$ в точках $K$ и $E$ соответственно. Так как $AE \parallel A_1B_1$, а $AA_1 \parallel EB_1$, то четырехугольник $AA_1B_1E$ — параллелограмм. Отсюда следует, что $EB_1 = AA_1 = 15$ см. Аналогично, $AA_1C_1K$ — параллелограмм, и $KC_1 = AA_1 = 15$ см.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Отрезок $CK$ параллелен его стороне $BE$ (так как $CC_1 \parallel BB_1$). Следовательно, треугольник $\triangle ACK$ подобен треугольнику $\triangle ABE$. Из подобия треугольников следует соотношение: $\frac{CK}{BE} = \frac{AC}{AB}$. Из условия задачи $AC : BC = 1 : 4$, значит, $AC$ составляет 1 часть отрезка $AB$, а $BC$ — 4 части. Весь отрезок $AB$ равен $1+4=5$ частям, поэтому $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{5}$. Длина отрезка $BE$ равна разности $BB_1$ и $EB_1$: $BE = BB_1 - EB_1 = 25 - 15 = 10$ см. Подставим найденные значения в пропорцию: $\frac{CK}{10} = \frac{1}{5}$, откуда $CK = 2$ см.

Искомая длина отрезка $CC_1$ складывается из длин отрезков $CK$ и $KC_1$: $CC_1 = CK + KC_1 = 2 + 15 = 17$ см.

Ответ: 17 см.