Номер 10.25, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.25. Данная точка, расположенная вне плоскости правильного треугольника, равноудалена от его вершин. Докажите, что прямая, проходящая через данную точку и центр данного треугольника, перпендикулярна плоскости треугольника.

Обозначим данный правильный треугольник как $ABC$, а его плоскость — как $\alpha$. Пусть $S$ — данная точка, не лежащая в плоскости $\alpha$. По условию, точка $S$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $SA = SB = SC$. Пусть $O$ — центр треугольника $ABC$. Требуется доказать, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Доказательство:

Опустим из точки $S$ перпендикуляр на плоскость $\alpha$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. По определению, прямая, содержащая отрезок $SH$, перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $SH \perp \alpha$.

Рассмотрим три прямоугольных треугольника: $\triangle SHA$, $\triangle SHB$ и $\triangle SHC$. Они являются прямоугольными, поскольку $SH \perp \alpha$ и, следовательно, $SH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. Таким образом, $\angle SHA = \angle SHB = \angle SHC = 90^\circ$.

В этих треугольниках:

• гипотенузы равны по условию задачи: $SA = SB = SC$;
• катет $SH$ является общим.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle SHA$, $\triangle SHB$ и $\triangle SHC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $HA = HB = HC$.

Это означает, что точка $H$, лежащая в плоскости $\alpha$, равноудалена от вершин треугольника $A, B, C$. Точка в плоскости треугольника, равноудаленная от всех его вершин, является центром описанной около этого треугольника окружности.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, его центр $O$ (точка пересечения медиан, биссектрис и высот) также является центром описанной окружности. Следовательно, точка $H$ совпадает с центром треугольника $O$.

Так как мы установили, что перпендикуляр из точки $S$ на плоскость $\alpha$ опускается в точку $O$, то прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.