gdz.top
Номер 10.22, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 10. Перпендикулярность прямой и плоскости - номер 10.22, страница 121.
№10.21
№10.22 (с. 121)
Условие. №10.22 (с. 121)
10.22. В тетраэдре $DABC$ известно, что $\angle ABD = \angle CBD$, $\angle ADB = \angle CDB$.
Докажите, что $BD \perp AC$.
Решение. №10.22 (с. 121)
Решение 2. №10.22 (с. 121)
Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. В этих треугольниках сторона $BD$ является общей, $\angle ABD = \angle CBD$ по условию, и $\angle ADB = \angle CDB$ также по условию. Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$ и $AD = CD$.
Поскольку $AB = CB$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Аналогично, так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ также является равнобедренным с общим основанием $AC$.
Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$, являющийся медианой, проведённой к основанию, будет также и высотой. Таким образом, $BM \perp AC$. В равнобедренном треугольнике $ADC$ отрезок $DM$, являющийся медианой, проведённой к основанию, будет также и высотой. Таким образом, $DM \perp AC$.
Мы установили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $M$ прямым $BM$ и $DM$. Эти две прямые определяют плоскость $(BDM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BDM)$.
Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BDM)$, поскольку точки $B$ и $D$ принадлежат этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD$, или, что то же самое, $BD \perp AC$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 10.22 расположенного на странице 121 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №10.22 (с. 121), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.