Номер 10.23, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.23. Отрезок $BD$ является общей медианой равнобедренных треугольников $ABC$ и $EFB$, лежащих в разных плоскостях ($BA = BC$ и $BE = BF$).

Докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию он равнобедренный с основанием $AC$ ($BA = BC$), а $BD$ — его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BD \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle EFB$. По условию он также равнобедренный с основанием $EF$ ($BE = BF$), а $BD$ — его медиана, проведенная из вершины $B$. Это означает, что $D$ является серединой стороны $EF$. Аналогично первому случаю, в равнобедренном треугольнике $\triangle EFB$ медиана $BD$, проведённая к основанию $EF$, является и его высотой. Следовательно, $BD \perp EF$.

Таким образом, мы установили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум разным прямым: $AC$ и $EF$.

Теперь докажем, что обе эти прямые лежат в плоскости $AEC$.Прямая $AC$ проходит через точки $A$ и $C$, которые по определению лежат в плоскости $AEC$. Значит, прямая $AC$ лежит в плоскости $AEC$.

Поскольку $BD$ — медиана в $\triangle ABC$, точка $D$ является серединой отрезка $AC$. Поскольку $BD$ — медиана в $\triangle EFB$, точка $D$ является серединой отрезка $EF$.Это означает, что диагонали четырехугольника $AECF$ ($AC$ и $EF$) пересекаются в точке $D$ и делятся этой точкой пополам. Четырехугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $AECF$ — параллелограмм.

Все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости. Эта плоскость определяется, например, точками $A, E, C$ и является плоскостью $AEC$. Поскольку прямая $EF$ проходит через вершины $E$ и $F$ этого параллелограмма, она также лежит в плоскости $AEC$.

Итак, мы имеем прямую $BD$, которая перпендикулярна двум пересекающимся в точке $D$ прямым ($AC$ и $EF$), и обе эти прямые лежат в плоскости $AEC$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.