Номер 10.27, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10.27, страница 122.

Условие.

10.27. Отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отрезок $AB$, если $AA_1 = 2$ см, $BB_1 = 12$ см, $AB_1 = 10$ см.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1$).

Поскольку две параллельные прямые ($AA_1$ и $BB_1$) задают плоскость, то точки $A$, $B$, $A_1$ и $B_1$ лежат в одной плоскости. Четырехугольник $AA_1B_1B$ является трапецией, так как две его стороны ($AA_1$ и $BB_1$) параллельны, а две другие ($AB$ и $A_1B_1$) в общем случае не параллельны.

Так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, а прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AA_1 \perp A_1B_1$ и $BB_1 \perp A_1B_1$. Следовательно, углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle BB_1A_1$ являются прямыми. Это означает, что трапеция $AA_1B_1B$ — прямоугольная, с основаниями $AA_1$ и $BB_1$ и высотой $A_1B_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_1B_1$ (угол $\angle AA_1B_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AB_1^2 = AA_1^2 + A_1B_1^2$

Подставим известные значения: $AA_1 = 2$ см, $AB_1 = 10$ см.

$10^2 = 2^2 + A_1B_1^2$

$100 = 4 + A_1B_1^2$

$A_1B_1^2 = 100 - 4 = 96$

Таким образом, мы нашли квадрат длины отрезка $A_1B_1$.

Для нахождения длины отрезка $AB$, который является боковой стороной трапеции, проведем высоту $AC$ из точки $A$ на основание $BB_1$. Получим прямоугольник $AA_1B_1C$ и прямоугольный треугольник $\triangle ABC$.

В прямоугольнике $AA_1B_1C$ противоположные стороны равны:

$AC = A_1B_1$, следовательно, $AC^2 = A_1B_1^2 = 96$.

$CB_1 = AA_1 = 2$ см.

Найдем длину катета $BC$ треугольника $\triangle ABC$:

$BC = BB_1 - CB_1 = 12 - 2 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle ACB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим найденные значения для $AC^2$ и $BC$:

$AB^2 = 96 + 10^2$

$AB^2 = 96 + 100$

$AB^2 = 196$

$AB = \sqrt{196} = 14$ см.

Ответ: 14 см.