Номер 10.30, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.30. Параллелограмм $ABCD$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Через вершины $A$, $B$, $C$ и $D$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 11$ см, $BB_1 = 18$ см, $DD_1 = 16$ см.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.

По условию, прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, а значит, они параллельны друг другу. Фигуры $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ являются прямоугольными трапециями, так как их боковые стороны $AA_1$ и $CC_1$ (а также $BB_1$ и $DD_1$) перпендикулярны основанию $A_1C_1$ (и $B_1D_1$), лежащему в плоскости $\alpha$.

Проведем через точку $O$ прямую $OO_1$, перпендикулярную плоскости $\alpha$, где $O_1$ — точка на плоскости $\alpha$. Тогда $OO_1$ будет параллельна прямым $AA_1$ и $CC_1$. Так как $O$ — середина отрезка $AC$, то по теореме Фалеса отрезок $OO_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований: $OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Аналогично, $OO_1$ является средней линией трапеции $BDD_1B_1$, так как $O$ — середина отрезка $BD$, а $OO_1$ параллельна $BB_1$ и $DD_1$. Поэтому: $OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Приравнивая правые части полученных равенств, так как они обе равны длине одного и того же отрезка $OO_1$, имеем: $\frac{AA_1 + CC_1}{2} = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Умножив обе части уравнения на 2, получаем свойство, что сумма расстояний от противоположных вершин параллелограмма до плоскости, которую он не пересекает, одинакова: $AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1$

Подставим известные значения из условия: $AA_1 = 11$ см, $BB_1 = 18$ см, $DD_1 = 16$ см. $11 + CC_1 = 18 + 16$

$11 + CC_1 = 34$

$CC_1 = 34 - 11$

$CC_1 = 23$ см.

Ответ: 23 см.