Номер 10.24, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.24. Параллельные прямые $a, b$ и $c$ не лежат в одной плоскости (рис. 10.30). На прямой $a$ отметили точку $D$ и провели через неё две прямые, одна из которых перпендикулярна прямой $b$ и пересекает её в точке $F$, а другая — перпендикулярна прямой $c$ и пересекает её в точке $E$. Докажите, что $EF \perp b$ и $EF \perp c$.

Рис. 10.30

Для доказательства воспользуемся методом построения вспомогательной плоскости.

1. Построим через точку D, лежащую на прямой a, плоскость α, перпендикулярную прямой a.

2. Согласно свойству параллельных прямых, если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и остальным. Так как по условию $a \parallel b \parallel c$, то плоскость α будет перпендикулярна также прямым b и c. То есть, $ \alpha \perp a $, $ \alpha \perp b $ и $ \alpha \perp c $.

3. Рассмотрим прямую DF. По условию она проходит через точку D и перпендикулярна прямой b ($DF \perp b$). Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой единственный перпендикуляр. Поскольку плоскость α перпендикулярна прямой b, этот перпендикуляр (DF) должен лежать в плоскости α. Следовательно, точка F принадлежит плоскости α.

4. Аналогично, по условию прямая DE перпендикулярна прямой c ($DE \perp c$). Так как плоскость α перпендикулярна прямой c, то перпендикуляр DE должен лежать в плоскости α. Следовательно, точка E также принадлежит плоскости α.

5. Мы установили, что обе точки, E и F, лежат в плоскости α. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Значит, прямая EF целиком лежит в плоскости α.

6. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, любая прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна прямой, которой эта плоскость перпендикулярна. Так как прямая EF лежит в плоскости α, а плоскость α перпендикулярна прямым b и c, отсюда следует, что $EF \perp b$ и $EF \perp c$.

Ответ: Что и требовалось доказать.