Страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.15. Точка $K$ — середина ребра $AD$ тетраэдра $DABC$, все рёбра которого равны. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$.

По условию задачи, тетраэдр $DABC$ имеет все равные рёбра. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками.

Для доказательства того, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$, необходимо показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых возьмём $BK$ и $CK$.

Рассмотрим грань $ABD$. Так как все рёбра тетраэдра равны, треугольник $ABD$ является равносторонним. Точка $K$ по условию является серединой ребра $AD$. Следовательно, отрезок $BK$ — это медиана треугольника $ABD$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также и высотой. Таким образом, $BK$ является высотой к стороне $AD$, а значит $BK \perp AD$.

Аналогично рассмотрим грань $ACD$. Этот треугольник также является равносторонним. Точка $K$ — середина ребра $AD$, поэтому отрезок $CK$ является медианой треугольника $ACD$. Как и в предыдущем случае, медиана в равностороннем треугольнике является высотой, поэтому $CK \perp AD$.

Итак, мы установили, что прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BK$ и прямой $CK$. Прямые $BK$ и $CK$ лежат в плоскости $BKC$ и пересекаются в точке $K$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$.

10.16. Через вершины $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены прямые $AM$ и $DK$, перпендикулярные плоскости параллелограмма (рис. 10.28). Докажите, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны.

Рис. 10.28

Для доказательства параллельности плоскостей (MAB) и (KDC) воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. По условию, прямые AM и DK перпендикулярны плоскости параллелограмма ABCD. Из теоремы о том, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны, следует, что $AM \parallel DK$.

2. По условию, ABCD — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel DC$.

Прямые AM и AB пересекаются в точке A и лежат в плоскости (MAB). Прямые DK и DC пересекаются в точке D и лежат в плоскости (KDC).

Таким образом, мы установили, что две пересекающиеся прямые AM и AB в плоскости (MAB) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DK и DC в плоскости (KDC).

Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость (MAB) параллельна плоскости (KDC), что и требовалось доказать.

Ответ: Плоскости MAB и KDC параллельны, так как две пересекающиеся прямые AM и AB в плоскости MAB соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DK и DC в плоскости KDC ($AM \parallel DK$ и $AB \parallel DC$).

10.17. Через вершины $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведены прямые $AE$ и $BF$, перпендикулярные плоскости трапеции (рис. 10.29). Каково взаимное расположение плоскостей $EAD$ и $FBC$?

Рис. 10.29

По условию задачи, четырёхугольник $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, её основания параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$.

Прямые $AE$ и $BF$ перпендикулярны плоскости трапеции, которую обозначим как $(ABC)$. Таким образом, $AE \perp (ABC)$ и $BF \perp (ABC)$.

Согласно свойству, если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. Отсюда следует, что $AE \parallel BF$.

Теперь рассмотрим плоскости $(EAD)$ и $(FBC)$.

Плоскость $(EAD)$ определяется двумя пересекающимися в точке $A$ прямыми: $AE$ и $AD$.

Плоскость $(FBC)$ определяется двумя пересекающимися в точке $B$ прямыми: $BF$ и $BC$.

Мы имеем:
1) прямая $AD$ из плоскости $(EAD)$ параллельна прямой $BC$ из плоскости $(FBC)$ ($AD \parallel BC$).
2) прямая $AE$ из плоскости $(EAD)$ параллельна прямой $BF$ из плоскости $(FBC)$ ($AE \parallel BF$).

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

В нашем случае все условия признака выполнены: пересекающиеся прямые $AD$ и $AE$ плоскости $(EAD)$ соответственно параллельны пересекающимся прямым $BC$ и $BF$ плоскости $(FBC)$.

Следовательно, плоскости $(EAD)$ и $(FBC)$ параллельны.

Ответ: Плоскости $EAD$ и $FBC$ параллельны.

10.18. Образом прямой при симметрии относительно данной плоскости является сама эта прямая. Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

Пусть $l$ — данная прямая, а $\Pi$ — данная плоскость. Условие, что образом прямой $l$ при симметрии относительно плоскости $\Pi$ является сама прямая $l$, означает, что для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, симметричная ей точка $A'$ относительно плоскости $\Pi$ также должна принадлежать прямой $l$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой $l$ и плоскости $\Pi$.

1. Прямая $l$ лежит в плоскости $\Pi$ ($l \subset \Pi$).
В этом случае любая точка $A$ на прямой $l$ принадлежит и плоскости $\Pi$. По определению симметрии относительно плоскости, образ такой точки совпадает с самой точкой ($A' = A$). Следовательно, образ любой точки прямой $l$ лежит на этой же прямой. Значит, образом прямой $l$ является сама прямая $l$. Этот случай удовлетворяет условию.

2. Прямая $l$ параллельна плоскости $\Pi$, но не лежит в ней ($l \parallel \Pi$, $l \not\subset \Pi$).
Выберем на прямой $l$ любую точку $A$. Поскольку $A \notin \Pi$, симметричная ей точка $A'$ не совпадает с $A$. По условию, $A'$ должна принадлежать прямой $l$. Но это невозможно, так как в этом случае прямая $l$, содержащая точки $A$ и $A'$, была бы перпендикулярна плоскости $\Pi$, что противоречит условию параллельности. Образом прямой $l$ в этом случае является прямая $l'$, параллельная $l$, но не совпадающая с ней. Следовательно, этот случай не удовлетворяет условию задачи.

3. Прямая $l$ пересекает плоскость $\Pi$ в одной точке $P$.
Возьмем на прямой $l$ любую точку $A$, отличную от $P$. Тогда $A \notin \Pi$, и ее образ $A'$ не совпадает с $A$. По условию, точка $A'$ также должна лежать на прямой $l$. Это означает, что прямая $l$ совпадает с прямой, проходящей через точки $A$ и $A'$. По определению симметрии, прямая $AA'$ перпендикулярна плоскости $\Pi$. Следовательно, и прямая $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\Pi$.
Проверим этот вывод: если прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\Pi$, то для любой точки $A \in l$ ее симметричный образ $A'$ лежит на перпендикуляре к $\Pi$, проходящем через точку $A$. Этот перпендикуляр и есть сама прямая $l$. Значит, $A' \in l$ для любой $A \in l$, и условие выполняется.

Таким образом, из всех возможных случаев взаимного расположения прямой и плоскости условию задачи удовлетворяют только два.

Ответ: Прямая либо лежит в данной плоскости, либо перпендикулярна ей.

10.19. Сколько плоскостей симметрии имеет:

Опишите, как они расположены.

1) отрезок

Отрезок имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Эти плоскости можно разделить на два типа:

• Плоскость, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Эта плоскость единственна. При симметрии относительно этой плоскости концы отрезка меняются местами.
• Любая плоскость, проходящая через сам отрезок. Таких плоскостей бесконечно много, они образуют пучок плоскостей, осью которого является прямая, содержащая отрезок. При симметрии относительно такой плоскости все точки отрезка остаются на месте.

Ответ: Бесконечно много.

2) прямая

Прямая имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Эти плоскости можно разделить на два типа:

• Любая плоскость, содержащая эту прямую. Таких плоскостей бесконечно много.
• Любая плоскость, перпендикулярная этой прямой. Таких плоскостей также бесконечно много.

Ответ: Бесконечно много.

3) плоскость

Плоскость имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Они делятся на два типа:

• Сама эта плоскость. При симметрии относительно неё все её точки остаются на месте.
• Любая плоскость, перпендикулярная данной. Таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: Бесконечно много.

4) окружность

Окружность имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Они делятся на два типа:

• Плоскость, в которой лежит сама окружность. Эта плоскость одна.
• Любая плоскость, проходящая через центр окружности и перпендикулярная её плоскости. Каждая такая плоскость содержит один из диаметров окружности. Таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: Бесконечно много.

5) угол

Плоский неразвернутый угол имеет две плоскости симметрии:

• Плоскость, в которой лежит угол.
• Плоскость, проходящая через биссектрису угла и перпендикулярная плоскости угла. При симметрии относительно этой плоскости стороны угла меняются местами.

Ответ: Две.

6) квадрат

Квадрат имеет пять плоскостей симметрии:

• Одна плоскость, в которой лежит сам квадрат.
• Две плоскости, которые проходят через середины противоположных сторон квадрата и перпендикулярны его плоскости.
• Две плоскости, которые проходят через диагонали квадрата и перпендикулярны его плоскости.

Ответ: Пять.

10.20. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катет $AC$ в точке $E$, а гипотенузу $AB$ — в точке $F$. Найдите отрезок $EF$, если $AE : EC = 3 : 4$, $BC = 21$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, а $AC$ и $BC$ — его катеты, то угол между ними прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$).

Дана плоскость $\alpha$, которая перпендикулярна катету $AC$. Прямая $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью треугольника $ABC$. Так как прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha \perp AC$, то из этого следует, что прямая $EF$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($EF \perp AC$).

В плоскости треугольника $ABC$ мы имеем две прямые, $EF$ и $BC$, которые обе перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Согласно свойству, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Следовательно, $EF \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ACB$:

• $\angle A$ — общий угол для обоих треугольников.
• $\angle AFE = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $\triangle AEF$ подобен треугольнику $\triangle ACB$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC}$

Отсюда мы можем выразить искомую длину отрезка $EF$:

$EF = BC \cdot \frac{AE}{AC}$

По условию задачи дано отношение $AE : EC = 3 : 4$. Пусть $AE = 3x$ и $EC = 4x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$. Тогда длина всего катета $AC$ равна:

$AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x$

Теперь найдем отношение длин сторон $\frac{AE}{AC}$:

$\frac{AE}{AC} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$

Подставим известные значения ($BC = 21$ см и $\frac{AE}{AC} = \frac{3}{7}$) в формулу для нахождения $EF$:

$EF = 21 \cdot \frac{3}{7} = \frac{21 \cdot 3}{7} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

10.21. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AB = AC$, $\angle BAD = \angle CAD$. Докажите, что $AD \perp BC$.

Для доказательства утверждения, что $AD \perp BC$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. В них:

• Сторона $AD$ — общая.
• $AB = AC$ (по условию).
• $\angle BAD = \angle CAD$ (по условию).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle ACD$.

2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $BD = CD$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Так как $BD = CD$, он является равнобедренным с основанием $BC$. Аналогично, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, так как $AB = AC$ по условию.

4. Пусть точка $M$ — середина отрезка $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Поэтому:

• В $\triangle ABC$ медиана $AM$ является высотой, то есть $AM \perp BC$.
• В $\triangle BCD$ медиана $DM$ является высотой, то есть $DM \perp BC$.

5. Мы получили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$. Эти прямые лежат в плоскости $(ADM)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(ADM)$.

6. Поскольку прямая $AD$ принадлежит плоскости $(ADM)$, а прямая $BC$ перпендикулярна этой плоскости, то прямая $BC$ перпендикулярна и прямой $AD$. Таким образом, $AD \perp BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Чтобы доказать, что прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, достаточно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, то есть $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$.

1. Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в точке $A$: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

2. Вычислим скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{AD} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB}$.

3. Используем определение скалярного произведения: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) $.

• $\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle CAD)$.
• $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle BAD)$.

4. Из условия задачи нам известно, что $AB = AC$ (то есть $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$) и $\angle BAD = \angle CAD$.

5. Сравнивая правые части выражений для скалярных произведений, видим, что они равны, так как все их множители соответственно равны:

$|\vec{AD}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle CAD) = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle BAD)$.

Отсюда следует, что $\vec{AD} \cdot \vec{AC} = \vec{AD} \cdot \vec{AB}$.

6. Подставим этот результат в выражение для искомого скалярного произведения:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB} = 0$.

7. Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

10.22. В тетраэдре $DABC$ известно, что $\angle ABD = \angle CBD$, $\angle ADB = \angle CDB$.

Докажите, что $BD \perp AC$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. В этих треугольниках сторона $BD$ является общей, $\angle ABD = \angle CBD$ по условию, и $\angle ADB = \angle CDB$ также по условию. Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$ и $AD = CD$.

Поскольку $AB = CB$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Аналогично, так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ также является равнобедренным с общим основанием $AC$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$, являющийся медианой, проведённой к основанию, будет также и высотой. Таким образом, $BM \perp AC$. В равнобедренном треугольнике $ADC$ отрезок $DM$, являющийся медианой, проведённой к основанию, будет также и высотой. Таким образом, $DM \perp AC$.

Мы установили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $M$ прямым $BM$ и $DM$. Эти две прямые определяют плоскость $(BDM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BDM)$.

Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BDM)$, поскольку точки $B$ и $D$ принадлежат этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD$, или, что то же самое, $BD \perp AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

10.23. Отрезок $BD$ является общей медианой равнобедренных треугольников $ABC$ и $EFB$, лежащих в разных плоскостях ($BA = BC$ и $BE = BF$).

Докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию он равнобедренный с основанием $AC$ ($BA = BC$), а $BD$ — его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BD \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle EFB$. По условию он также равнобедренный с основанием $EF$ ($BE = BF$), а $BD$ — его медиана, проведенная из вершины $B$. Это означает, что $D$ является серединой стороны $EF$. Аналогично первому случаю, в равнобедренном треугольнике $\triangle EFB$ медиана $BD$, проведённая к основанию $EF$, является и его высотой. Следовательно, $BD \perp EF$.

Таким образом, мы установили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум разным прямым: $AC$ и $EF$.

Теперь докажем, что обе эти прямые лежат в плоскости $AEC$.Прямая $AC$ проходит через точки $A$ и $C$, которые по определению лежат в плоскости $AEC$. Значит, прямая $AC$ лежит в плоскости $AEC$.

Поскольку $BD$ — медиана в $\triangle ABC$, точка $D$ является серединой отрезка $AC$. Поскольку $BD$ — медиана в $\triangle EFB$, точка $D$ является серединой отрезка $EF$.Это означает, что диагонали четырехугольника $AECF$ ($AC$ и $EF$) пересекаются в точке $D$ и делятся этой точкой пополам. Четырехугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $AECF$ — параллелограмм.

Все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости. Эта плоскость определяется, например, точками $A, E, C$ и является плоскостью $AEC$. Поскольку прямая $EF$ проходит через вершины $E$ и $F$ этого параллелограмма, она также лежит в плоскости $AEC$.

Итак, мы имеем прямую $BD$, которая перпендикулярна двум пересекающимся в точке $D$ прямым ($AC$ и $EF$), и обе эти прямые лежат в плоскости $AEC$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

10.24. Параллельные прямые $a, b$ и $c$ не лежат в одной плоскости (рис. 10.30). На прямой $a$ отметили точку $D$ и провели через неё две прямые, одна из которых перпендикулярна прямой $b$ и пересекает её в точке $F$, а другая — перпендикулярна прямой $c$ и пересекает её в точке $E$. Докажите, что $EF \perp b$ и $EF \perp c$.

Рис. 10.30

Для доказательства воспользуемся методом построения вспомогательной плоскости.

1. Построим через точку D, лежащую на прямой a, плоскость α, перпендикулярную прямой a.

2. Согласно свойству параллельных прямых, если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и остальным. Так как по условию $a \parallel b \parallel c$, то плоскость α будет перпендикулярна также прямым b и c. То есть, $ \alpha \perp a $, $ \alpha \perp b $ и $ \alpha \perp c $.

3. Рассмотрим прямую DF. По условию она проходит через точку D и перпендикулярна прямой b ($DF \perp b$). Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой единственный перпендикуляр. Поскольку плоскость α перпендикулярна прямой b, этот перпендикуляр (DF) должен лежать в плоскости α. Следовательно, точка F принадлежит плоскости α.

4. Аналогично, по условию прямая DE перпендикулярна прямой c ($DE \perp c$). Так как плоскость α перпендикулярна прямой c, то перпендикуляр DE должен лежать в плоскости α. Следовательно, точка E также принадлежит плоскости α.

5. Мы установили, что обе точки, E и F, лежат в плоскости α. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Значит, прямая EF целиком лежит в плоскости α.

6. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, любая прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна прямой, которой эта плоскость перпендикулярна. Так как прямая EF лежит в плоскости α, а плоскость α перпендикулярна прямым b и c, отсюда следует, что $EF \perp b$ и $EF \perp c$.

Ответ: Что и требовалось доказать.