Страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости?

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

5. Сформулируйте теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?

7. Опишите преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно плоскости.

8. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости?

1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости?

Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.

Ответ: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?

Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости, и имеет с плоскостью одну общую точку.

Ответ: Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. То есть, если в плоскости $\alpha$ лежат две пересекающиеся в точке $M$ прямые $b$ и $c$, и прямая $a$ перпендикулярна им обеим ($a \perp b$ и $a \perp c$), то прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Если $a \parallel b$ и $a \perp \alpha$, то $b \perp \alpha$.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.

5. Сформулируйте теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.

Существуют две взаимно обратные теоремы:

1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. Если $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$, то $a \parallel b$.
2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Если $a \parallel b$ и $\alpha \perp a$, то $\alpha \perp b$. (Это теорема из п. 4)

Ответ: Основная теорема гласит: две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?

Две точки $A$ и $A'$ называют симметричными относительно плоскости $\alpha$, если эта плоскость проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна этому отрезку.

Ответ: Две точки называются симметричными относительно плоскости, если эта плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

7. Опишите преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно плоскости.

Симметрия относительно плоскости (или зеркальная симметрия) — это такое преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, симметричную ей относительно данной плоскости $\alpha$. Плоскость $\alpha$ называется плоскостью симметрии.

Ответ: Симметрия относительно плоскости — это преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается на точку, симметричную ей относительно этой плоскости.

8. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости?

Фигуру называют симметричной относительно плоскости $\alpha$, если преобразование симметрии относительно этой плоскости переводит (отображает) фигуру в себя. Это означает, что для любой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно плоскости $\alpha$ точка также принадлежит этой фигуре.

Ответ: Фигура называется симметричной относительно плоскости, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой плоскости точка также принадлежит этой фигуре.

10.1. Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Существуют ли в плоскости $\alpha$ прямые, не перпендикулярные прямой $a$?

10.1. По определению, прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В условии задачи дано, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, что записывается как $a \perp \alpha$. Это означает, что прямая $a$ образует прямой угол ($90^\circ$) с любой прямой, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, в плоскости $\alpha$ не может существовать прямая, которая не была бы перпендикулярна прямой $a$.

Ответ: нет, таких прямых не существует.

10.2. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$?

Нет, из этого не следует, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Для того чтобы сделать вывод о перпендикулярности прямой и плоскости, используется следующий признак (теорема):
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В условии задачи дано, что прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Однако, ключевое условие — что прямые $a$ и $b$ должны быть пересекающимися — в условии задачи отсутствует. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

1. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то по вышеуказанному признаку прямая $m$ действительно будет перпендикулярна плоскости $\alpha$.

2. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то утверждение неверно. Можно привести контрпример, показывающий, что прямая $m$ может быть перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости, но не быть перпендикулярной самой плоскости.

Контрпример:
Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость нижнего основания $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ лежат в этой плоскости и параллельны друг другу ($AB \parallel CD$). Рассмотрим прямую $AD_1$, которая является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$.

• Прямая $AD_1$ перпендикулярна прямой $AB$, так как $AB$ перпендикулярна всей плоскости грани $ADD_1A_1$ (поскольку $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$), а значит $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD_1$.
• Поскольку $AB \parallel CD$, то и $AD_1 \perp CD$.

Таким образом, мы имеем прямую $m = AD_1$, которая перпендикулярна двум параллельным прямым $a = AB$ и $b = CD$ в плоскости $\alpha = (ABC)$. Однако прямая $AD_1$ не перпендикулярна плоскости $ABCD$. Например, она не перпендикулярна прямой $AD$, лежащей в этой плоскости (угол $\angle D_1AD$ равен $45^\circ$, а не $90^\circ$).

Так как существует случай (когда прямые $a$ и $b$ параллельны), в котором из условия задачи не следует перпендикулярность прямой $m$ плоскости $\alpha$, то на общий вопрос следует дать отрицательный ответ.

Ответ: Нет, не следует. Утверждение верно только в том случае, если прямые $a$ и $b$ пересекаются. Если же прямые $a$ и $b$ параллельны, то из перпендикулярности прямой $m$ прямым $a$ и $b$ не следует ее перпендикулярность плоскости $\alpha$.

10.3. Верно ли утверждение, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости?

Данное утверждение неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример, то есть найти такую прямую и плоскость, что прямая не перпендикулярна плоскости, но перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим в качестве примера куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Пусть дана плоскость основания $ \alpha = (ABC) $.Рассмотрим прямую $ a = A_1D $, которая является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$.

1. Докажем, что прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$.Проекцией наклонной $A_1D$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $AD$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В данном случае это угол $\angle A_1DA$. В треугольнике $\triangle AA_1D$, который является прямоугольным ($ \angle A_1AD = 90^\circ $) и равнобедренным ($AA_1 = AD$ как рёбра куба), угол $\angle A_1DA = 45^\circ$. Поскольку угол не равен $90^\circ$, прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

2. Теперь найдем в плоскости $(ABC)$ прямую, которой перпендикулярна прямая $A_1D$.Рассмотрим прямую $b = AB$, которая лежит в плоскости $(ABC)$. Докажем, что $A_1D \perp AB$.Ребро $AB$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой грани:

• $AB \perp AD$ (как смежные стороны квадрата $ABCD$).
• $AB \perp AA_1$ (так как боковые рёбра куба перпендикулярны основаниям).

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(ADD_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $(ADD_1)$. Следовательно, $AB \perp A_1D$.

Таким образом, мы показали, что прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$, но она перпендикулярна прямой $AB$, которая лежит в этой плоскости. Это является контрпримером к исходному утверждению.

Ответ: нет, утверждение неверно.

10.4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 10.21). Назовите грани куба, которым перпендикулярна прямая:

1) $AA_1$;

2) $AD$.

Рис. 10.21

1) AA₁
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим грань (плоскость) $ABCD$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, так как грань $ABB_1A_1$ является квадратом, и угол $\angle A_1AB = 90^\circ$. Также ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AD$, так как грань $ADD_1A_1$ является квадратом, и угол $\angle A_1AD = 90^\circ$. Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости $ABCD$ и пересекаются в точке $A$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости грани $ABCD$.

Рассмотрим грань (плоскость) $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань параллельна грани $ABCD$. Так как прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то она перпендикулярна и параллельной ей плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Таким образом, прямая $AA_1$ перпендикулярна граням $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) AD
Используем тот же признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим грань (плоскость) $ABB_1A_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$, так как грань $ABCD$ является квадратом, и угол $\angle DAB = 90^\circ$. Также ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$, так как грань $ADD_1A_1$ является квадратом, и угол $\angle DAA_1 = 90^\circ$. Прямые $AB$ и $AA_1$ лежат в плоскости $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $A$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$.

Рассмотрим грань (плоскость) $DCC_1D_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$, так как грань $ABCD$ является квадратом, и угол $\angle ADC = 90^\circ$. Ребро $AD$ также перпендикулярно ребру $DD_1$, так как грань $ADD_1A_1$ является квадратом (и, соответственно, $AD \perp DD_1$, $\angle ADD_1 = 90^\circ$). Прямые $DC$ и $DD_1$ лежат в плоскости $DCC_1D_1$ и пересекаются в точке $D$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости грани $DCC_1D_1$.
Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.
Ответ: $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.

10.5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 10.21). Укажите прямые, которые перпендикулярны плоскости грани: 1) $AA_1B_1B$; 2) $A_1B_1C_1D_1$.

Рис. 10.21

1) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим плоскость грани $AA_1B_1B$. Эта грань является квадратом.

Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$, так как грань $ABCD$ – квадрат.

Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$, так как грань $AA_1D_1D$ – квадрат.

Прямые $AB$ и $AA_1$ лежат в плоскости $(AA_1B_1)$ и пересекаются в точке $A$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум этим пересекающимся прямым, она перпендикулярна всей плоскости $(AA_1B_1)$.

Прямые, параллельные прямой $AD$, также будут перпендикулярны плоскости $(AA_1B_1)$. Это рёбра $BC$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$.

Ответ: $AD$, $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) Рассмотрим плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань является квадратом и представляет собой верхнее основание куба.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$, так как грань $AA_1B_1B$ – квадрат.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $A_1D_1$, так как грань $AA_1D_1D$ – квадрат.

Прямые $A_1B_1$ и $A_1D_1$ лежат в плоскости $(A_1B_1C_1)$ и пересекаются в точке $A_1$. Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна двум этим пересекающимся прямым, она перпендикулярна всей плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Прямые, параллельные прямой $AA_1$, также будут перпендикулярны плоскости $(A_1B_1C_1)$. Это рёбра $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

10.6. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна:

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

Основным критерием для определения перпендикулярности прямой к плоскости является признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Проверим каждое утверждение на соответствие этому критерию.

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

Рассмотрим произвольный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$. Пусть $a$ – его сторона, а $m$ – его медиана. В невырожденном треугольнике любая сторона и любая медиана являются пересекающимися отрезками (и, соответственно, лежат на пересекающихся прямых). Например, медиана, проведенная к стороне, пересекает эту сторону в ее середине, а медиана, проведенная из вершины, являющейся концом стороны, пересекает эту сторону в данной вершине. Таким образом, сторона и медиана треугольника всегда определяют две пересекающиеся прямые в плоскости $\alpha$. Если некоторая прямая $l$ перпендикулярна и стороне, и медиане, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Да, верно.

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

Рассмотрим треугольник $ABC$ в плоскости $\alpha$. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне. Например, средняя линия $MN$, где $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, параллельна стороне $AC$. Если выбрать для проверки сторону $AC$ и среднюю линию $MN$, то мы получим две параллельные прямые ($AC \parallel MN$). Если прямая $l$ перпендикулярна двум этим параллельным прямым, этого недостаточно для того, чтобы утверждать, что прямая $l$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$. Прямая $l$ перпендикулярна лишь одному направлению в плоскости. Таким образом, можно подобрать такой случай, когда утверждение не выполняется.
Ответ: Нет, неверно.

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

Рассмотрим трапецию $ABCD$, лежащую в плоскости $\alpha$. По определению, у трапеции есть две параллельные стороны, которые называются основаниями. Пусть $AD$ и $BC$ – основания трапеции, тогда $AD \parallel BC$. Если выбрать для проверки именно эти две стороны, то мы снова получаем случай с двумя параллельными прямыми, как и в пункте 2. Если прямая $l$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$, то она перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости. Этого не достаточно для перпендикулярности прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Так как существует хотя бы одна пара сторон (основания), для которых условие не приводит к перпендикулярности прямой и плоскости, общее утверждение является неверным.
Ответ: Нет, неверно.

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости $\alpha$. Любые два различных диаметра этой окружности проходят через ее центр и, следовательно, пересекаются в нем. Таким образом, два различных диаметра всегда являются двумя пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости $\alpha$. Если прямая $l$ перпендикулярна двум диаметрам, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Утверждение всегда выполняется.
Ответ: Да, верно.

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$, лежащий в плоскости $\alpha$. У правильного шестиугольника есть как пересекающиеся, так и параллельные диагонали. Например, большие диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в центре шестиугольника. Однако существуют и пары параллельных диагоналей. Например, малые диагонали $AC$ и $FD$ параллельны. Также параллельны диагонали $FB$ и $EC$ (они являются противоположными сторонами прямоугольника $FBCE$). Если выбрать пару таких параллельных диагоналей, например $FB$ и $EC$, и прямая $l$ будет им перпендикулярна, то мы опять сталкиваемся с ситуацией, когда прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости. Как было показано в пунктах 2 и 3, этого условия недостаточно для перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, общее утверждение неверно.
Ответ: Нет, неверно.

10.7. Три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, но не перпендикулярна прямой $c$. Каково взаимное расположение прямых $a$ и $b$?

Для определения взаимного расположения прямых $a$ и $b$ воспользуемся методом доказательства от противного, исходя из условий задачи.

По условию, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это означает, что они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пусть точка $O$ — точка их пересечения. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и их точка пересечения $O$ принадлежит этой плоскости.

Из условия задачи известно, что прямая $m$ перпендикулярна прямой $a$ ($m \perp a$) и перпендикулярна прямой $b$ ($m \perp b$).

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В нашем случае прямая $m$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $a$ и $b$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($m \perp \alpha$).

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. По условию, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Таким образом, из того, что $m \perp \alpha$, должно следовать, что $m \perp c$.

Однако это утверждение противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $m$ не перпендикулярна прямой $c$ ($m \not\perp c$).

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, является неверным.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они могут быть только параллельными.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ параллельны.