Номер 10.4, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 10.21). Назовите грани куба, которым перпендикулярна прямая:

1) $AA_1$;

2) $AD$.

Рис. 10.21

1) AA₁
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим грань (плоскость) $ABCD$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, так как грань $ABB_1A_1$ является квадратом, и угол $\angle A_1AB = 90^\circ$. Также ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AD$, так как грань $ADD_1A_1$ является квадратом, и угол $\angle A_1AD = 90^\circ$. Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости $ABCD$ и пересекаются в точке $A$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости грани $ABCD$.

Рассмотрим грань (плоскость) $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань параллельна грани $ABCD$. Так как прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то она перпендикулярна и параллельной ей плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Таким образом, прямая $AA_1$ перпендикулярна граням $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) AD
Используем тот же признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим грань (плоскость) $ABB_1A_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$, так как грань $ABCD$ является квадратом, и угол $\angle DAB = 90^\circ$. Также ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$, так как грань $ADD_1A_1$ является квадратом, и угол $\angle DAA_1 = 90^\circ$. Прямые $AB$ и $AA_1$ лежат в плоскости $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $A$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$.

Рассмотрим грань (плоскость) $DCC_1D_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$, так как грань $ABCD$ является квадратом, и угол $\angle ADC = 90^\circ$. Ребро $AD$ также перпендикулярно ребру $DD_1$, так как грань $ADD_1A_1$ является квадратом (и, соответственно, $AD \perp DD_1$, $\angle ADD_1 = 90^\circ$). Прямые $DC$ и $DD_1$ лежат в плоскости $DCC_1D_1$ и пересекаются в точке $D$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости грани $DCC_1D_1$.
Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.
Ответ: $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.