Номер 9.24, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.24. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 3 : 2$. На отрезке $BM$ отметили точку $K$ так, что $BK : KM = 4 : 1$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна $34 \text{ см}^2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $CMB$ и секущей $AKP$. Точки $A$, $K$, $P$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $P$, сторону $BM$ в точке $K$ и продолжение стороны $CM$ в точке $A$.

По теореме Менелая, произведение отношений, в которых секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице:

$\frac{CA}{AM} \cdot \frac{MK}{KB} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

Найдем значения этих отношений из условия задачи.

1. Дано, что $AM : MC = 3 : 2$. Если принять длину отрезка $AM$ за $3x$, то длина $MC$ будет $2x$. Тогда вся сторона $AC = AM + MC = 3x + 2x = 5x$. Отношение $\frac{CA}{AM}$ (или $\frac{AC}{AM}$) будет равно:

$\frac{CA}{AM} = \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3}$

2. Дано, что $BK : KM = 4 : 1$. Отсюда найдем обратное отношение $\frac{MK}{KB}$:

$\frac{MK}{KB} = \frac{1}{4}$

3. Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая и найдем искомое отношение $\frac{BP}{PC}$:

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{5}{12} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{12}{5}$

Это означает, что точка $P$ делит сторону $BC$ в отношении $12:5$.

Теперь найдем площадь треугольника $ABP$. Треугольники $ABP$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}} = \frac{BP}{BC}$

Из отношения $\frac{BP}{PC} = \frac{12}{5}$ следует, что если $BP=12y$, то $PC=5y$, а вся сторона $BC = BP + PC = 12y + 5y = 17y$.

Тогда отношение оснований равно:

$\frac{BP}{BC} = \frac{12y}{17y} = \frac{12}{17}$

Площадь треугольника $ABP$ составляет $\frac{12}{17}$ от площади треугольника $ABC$. По условию, площадь треугольника $ABC$ равна $34 \text{ см}^2$.

$S_{ABP} = S_{ABC} \cdot \frac{12}{17} = 34 \cdot \frac{12}{17} = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.