Номер 10.6, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.6. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна:

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

Основным критерием для определения перпендикулярности прямой к плоскости является признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Проверим каждое утверждение на соответствие этому критерию.

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

Рассмотрим произвольный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$. Пусть $a$ – его сторона, а $m$ – его медиана. В невырожденном треугольнике любая сторона и любая медиана являются пересекающимися отрезками (и, соответственно, лежат на пересекающихся прямых). Например, медиана, проведенная к стороне, пересекает эту сторону в ее середине, а медиана, проведенная из вершины, являющейся концом стороны, пересекает эту сторону в данной вершине. Таким образом, сторона и медиана треугольника всегда определяют две пересекающиеся прямые в плоскости $\alpha$. Если некоторая прямая $l$ перпендикулярна и стороне, и медиане, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Да, верно.

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

Рассмотрим треугольник $ABC$ в плоскости $\alpha$. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне. Например, средняя линия $MN$, где $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, параллельна стороне $AC$. Если выбрать для проверки сторону $AC$ и среднюю линию $MN$, то мы получим две параллельные прямые ($AC \parallel MN$). Если прямая $l$ перпендикулярна двум этим параллельным прямым, этого недостаточно для того, чтобы утверждать, что прямая $l$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$. Прямая $l$ перпендикулярна лишь одному направлению в плоскости. Таким образом, можно подобрать такой случай, когда утверждение не выполняется.
Ответ: Нет, неверно.

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

Рассмотрим трапецию $ABCD$, лежащую в плоскости $\alpha$. По определению, у трапеции есть две параллельные стороны, которые называются основаниями. Пусть $AD$ и $BC$ – основания трапеции, тогда $AD \parallel BC$. Если выбрать для проверки именно эти две стороны, то мы снова получаем случай с двумя параллельными прямыми, как и в пункте 2. Если прямая $l$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$, то она перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости. Этого не достаточно для перпендикулярности прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Так как существует хотя бы одна пара сторон (основания), для которых условие не приводит к перпендикулярности прямой и плоскости, общее утверждение является неверным.
Ответ: Нет, неверно.

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости $\alpha$. Любые два различных диаметра этой окружности проходят через ее центр и, следовательно, пересекаются в нем. Таким образом, два различных диаметра всегда являются двумя пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости $\alpha$. Если прямая $l$ перпендикулярна двум диаметрам, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Утверждение всегда выполняется.
Ответ: Да, верно.

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$, лежащий в плоскости $\alpha$. У правильного шестиугольника есть как пересекающиеся, так и параллельные диагонали. Например, большие диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в центре шестиугольника. Однако существуют и пары параллельных диагоналей. Например, малые диагонали $AC$ и $FD$ параллельны. Также параллельны диагонали $FB$ и $EC$ (они являются противоположными сторонами прямоугольника $FBCE$). Если выбрать пару таких параллельных диагоналей, например $FB$ и $EC$, и прямая $l$ будет им перпендикулярна, то мы опять сталкиваемся с ситуацией, когда прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости. Как было показано в пунктах 2 и 3, этого условия недостаточно для перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, общее утверждение неверно.
Ответ: Нет, неверно.