Номер 10.7, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.7. Три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, но не перпендикулярна прямой $c$. Каково взаимное расположение прямых $a$ и $b$?

Для определения взаимного расположения прямых $a$ и $b$ воспользуемся методом доказательства от противного, исходя из условий задачи.

По условию, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это означает, что они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пусть точка $O$ — точка их пересечения. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и их точка пересечения $O$ принадлежит этой плоскости.

Из условия задачи известно, что прямая $m$ перпендикулярна прямой $a$ ($m \perp a$) и перпендикулярна прямой $b$ ($m \perp b$).

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В нашем случае прямая $m$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $a$ и $b$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($m \perp \alpha$).

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. По условию, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Таким образом, из того, что $m \perp \alpha$, должно следовать, что $m \perp c$.

Однако это утверждение противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $m$ не перпендикулярна прямой $c$ ($m \not\perp c$).

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, является неверным.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они могут быть только параллельными.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ параллельны.