Номер 10.14, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.14. На ребре $AB$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, отметили точку $M$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $AB$.

Пусть искомая секущая плоскость — это плоскость $\alpha$. По условию задачи, она проходит через точку $M$, принадлежащую ребру $AB$, и перпендикулярна прямой $AB$.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его грани являются прямоугольниками, следовательно, смежные ребра перпендикулярны. В частности, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и ребру $AA_1$ (так как $ABB_1A_1$ — прямоугольник).

Прямые $AD$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и определяют плоскость грани $ADD_1A_1$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $(ADD_1A_1)$.

Мы имеем две плоскости: искомую плоскость $\alpha$ и плоскость грани $(ADD_1A_1)$. Обе они по условию и по свойству параллелепипеда перпендикулярны одной и той же прямой $AB$. Из теоремы о том, что две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, следует, что $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$.

Следовательно, задача сводится к построению сечения плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости грани $ADD_1A_1$.

Построение сечения:

1. В плоскости нижнего основания $(ABCD)$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную $AD$. Точку ее пересечения с ребром $CD$ обозначим $N$. Отрезок $MN$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$.
2. В плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную $AA_1$. Точку ее пересечения с ребром $A_1B_1$ обозначим $P$. Отрезок $MP$ — линия пересечения с гранью $ABB_1A_1$.
3. В плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $P$ проводим прямую, параллельную $A_1D_1$ (или, что то же самое, параллельную $MN$). Точку ее пересечения с ребром $C_1D_1$ обозначим $Q$. Отрезок $PQ$ — линия пересечения с гранью $A_1B_1C_1D_1$.
4. Соединяем точки $N$ и $Q$. Отрезок $NQ$ — линия пересечения с задней гранью $CDD_1C_1$. Он будет параллелен отрезку $MP$, так как они являются линиями пересечения секущей плоскости с параллельными гранями.

Полученный четырехугольник $MNQP$ является искомым сечением. Так как по построению $MN \parallel AD$ и $MP \parallel AA_1$, а в прямоугольном параллелепипеде $AD \perp AA_1$, то угол между прямыми $MN$ и $MP$ прямой. Следовательно, сечение $MNQP$ — это прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $MNQP$, где точки $N, P, Q$ строятся последовательно: в плоскости $(ABCD)$ проводится $MN \parallel AD$ ($N \in CD$), в плоскости $(ABB_1A_1)$ проводится $MP \parallel AA_1$ ($P \in A_1B_1$), и в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ проводится $PQ \parallel A_1D_1$ ($Q \in C_1D_1$).