Номер 10.18, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.18. Образом прямой при симметрии относительно данной плоскости является сама эта прямая. Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

Пусть $l$ — данная прямая, а $\Pi$ — данная плоскость. Условие, что образом прямой $l$ при симметрии относительно плоскости $\Pi$ является сама прямая $l$, означает, что для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, симметричная ей точка $A'$ относительно плоскости $\Pi$ также должна принадлежать прямой $l$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой $l$ и плоскости $\Pi$.

1. Прямая $l$ лежит в плоскости $\Pi$ ($l \subset \Pi$).
В этом случае любая точка $A$ на прямой $l$ принадлежит и плоскости $\Pi$. По определению симметрии относительно плоскости, образ такой точки совпадает с самой точкой ($A' = A$). Следовательно, образ любой точки прямой $l$ лежит на этой же прямой. Значит, образом прямой $l$ является сама прямая $l$. Этот случай удовлетворяет условию.

2. Прямая $l$ параллельна плоскости $\Pi$, но не лежит в ней ($l \parallel \Pi$, $l \not\subset \Pi$).
Выберем на прямой $l$ любую точку $A$. Поскольку $A \notin \Pi$, симметричная ей точка $A'$ не совпадает с $A$. По условию, $A'$ должна принадлежать прямой $l$. Но это невозможно, так как в этом случае прямая $l$, содержащая точки $A$ и $A'$, была бы перпендикулярна плоскости $\Pi$, что противоречит условию параллельности. Образом прямой $l$ в этом случае является прямая $l'$, параллельная $l$, но не совпадающая с ней. Следовательно, этот случай не удовлетворяет условию задачи.

3. Прямая $l$ пересекает плоскость $\Pi$ в одной точке $P$.
Возьмем на прямой $l$ любую точку $A$, отличную от $P$. Тогда $A \notin \Pi$, и ее образ $A'$ не совпадает с $A$. По условию, точка $A'$ также должна лежать на прямой $l$. Это означает, что прямая $l$ совпадает с прямой, проходящей через точки $A$ и $A'$. По определению симметрии, прямая $AA'$ перпендикулярна плоскости $\Pi$. Следовательно, и прямая $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\Pi$.
Проверим этот вывод: если прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\Pi$, то для любой точки $A \in l$ ее симметричный образ $A'$ лежит на перпендикуляре к $\Pi$, проходящем через точку $A$. Этот перпендикуляр и есть сама прямая $l$. Значит, $A' \in l$ для любой $A \in l$, и условие выполняется.

Таким образом, из всех возможных случаев взаимного расположения прямой и плоскости условию задачи удовлетворяют только два.

Ответ: Прямая либо лежит в данной плоскости, либо перпендикулярна ей.