Номер 10.21, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.21. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AB = AC$, $\angle BAD = \angle CAD$. Докажите, что $AD \perp BC$.

Для доказательства утверждения, что $AD \perp BC$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. В них:

• Сторона $AD$ — общая.
• $AB = AC$ (по условию).
• $\angle BAD = \angle CAD$ (по условию).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle ACD$.

2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $BD = CD$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Так как $BD = CD$, он является равнобедренным с основанием $BC$. Аналогично, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, так как $AB = AC$ по условию.

4. Пусть точка $M$ — середина отрезка $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Поэтому:

• В $\triangle ABC$ медиана $AM$ является высотой, то есть $AM \perp BC$.
• В $\triangle BCD$ медиана $DM$ является высотой, то есть $DM \perp BC$.

5. Мы получили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$. Эти прямые лежат в плоскости $(ADM)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(ADM)$.

6. Поскольку прямая $AD$ принадлежит плоскости $(ADM)$, а прямая $BC$ перпендикулярна этой плоскости, то прямая $BC$ перпендикулярна и прямой $AD$. Таким образом, $AD \perp BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Чтобы доказать, что прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, достаточно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, то есть $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$.

1. Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в точке $A$: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

2. Вычислим скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{AD} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB}$.

3. Используем определение скалярного произведения: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) $.

• $\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle CAD)$.
• $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle BAD)$.

4. Из условия задачи нам известно, что $AB = AC$ (то есть $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$) и $\angle BAD = \angle CAD$.

5. Сравнивая правые части выражений для скалярных произведений, видим, что они равны, так как все их множители соответственно равны:

$|\vec{AD}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle CAD) = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle BAD)$.

Отсюда следует, что $\vec{AD} \cdot \vec{AC} = \vec{AD} \cdot \vec{AB}$.

6. Подставим этот результат в выражение для искомого скалярного произведения:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB} = 0$.

7. Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.