Номер 10.20, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.20. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катет $AC$ в точке $E$, а гипотенузу $AB$ — в точке $F$. Найдите отрезок $EF$, если $AE : EC = 3 : 4$, $BC = 21$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, а $AC$ и $BC$ — его катеты, то угол между ними прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$).

Дана плоскость $\alpha$, которая перпендикулярна катету $AC$. Прямая $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью треугольника $ABC$. Так как прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha \perp AC$, то из этого следует, что прямая $EF$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($EF \perp AC$).

В плоскости треугольника $ABC$ мы имеем две прямые, $EF$ и $BC$, которые обе перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Согласно свойству, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Следовательно, $EF \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ACB$:

• $\angle A$ — общий угол для обоих треугольников.
• $\angle AFE = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $\triangle AEF$ подобен треугольнику $\triangle ACB$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC}$

Отсюда мы можем выразить искомую длину отрезка $EF$:

$EF = BC \cdot \frac{AE}{AC}$

По условию задачи дано отношение $AE : EC = 3 : 4$. Пусть $AE = 3x$ и $EC = 4x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$. Тогда длина всего катета $AC$ равна:

$AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x$

Теперь найдем отношение длин сторон $\frac{AE}{AC}$:

$\frac{AE}{AC} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$

Подставим известные значения ($BC = 21$ см и $\frac{AE}{AC} = \frac{3}{7}$) в формулу для нахождения $EF$:

$EF = 21 \cdot \frac{3}{7} = \frac{21 \cdot 3}{7} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.