Номер 10.10, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.10. Точка $O$ — центр грани $ABCD$ куба $A_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a$ (рис. 10.24). Найдите:

1) расстояние от точки $O$ до вершины $B_1$ куба;

2) тангенс угла между прямыми $B_1O$ и $DD_1$.

Рис. 10.24

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Оси координат направим вдоль ребер куба: ось $x$ вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, ось $z$ вдоль $AA_1$. Так как ребро куба равно $a$, то координаты вершин будут:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Точка $O$ — центр грани $ABCD$. Координаты центра грани можно найти как среднее арифметическое координат ее вершин. Для квадрата достаточно взять середину диагонали, например, $AC$.

$O = \left( \frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}, \frac{z_A+z_C}{2} \right) = \left( \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right)$.

Расстояние между двумя точками $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Найдем расстояние $OB_1$ между точкой $O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$ и вершиной $B_1(a, 0, a)$.

$OB_1 = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2}$

$OB_1 = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2+a^2+4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Альтернативное решение (геометрическое):

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBB_1$ (так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$, а значит и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OB$).

Катет $BB_1$ равен ребру куба, то есть $BB_1 = a$.

Катет $OB$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $BD$ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

$OB = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $OBB_1$:

$OB_1^2 = OB^2 + BB_1^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{2a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3a^2}{2}$

$OB_1 = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Прямые $B_1O$ и $DD_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным.

Прямая $DD_1$ параллельна ребру $BB_1$, так как $BB_1D_1D$ — грань куба (квадрат). Следовательно, угол между прямыми $B_1O$ и $DD_1$ равен углу между прямыми $B_1O$ и $BB_1$.

Эти прямые пересекаются в точке $B_1$ и образуют угол $\angle OB_1B$ в прямоугольном треугольнике $OBB_1$, который мы рассматривали в первом пункте.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла $\angle OB_1B$ противолежащим катетом является $OB$, а прилежащим — $BB_1$.

$\tan(\angle OB_1B) = \frac{OB}{BB_1}$

Мы уже нашли длины этих катетов:

$OB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$BB_1 = a$

Подставляем значения в формулу:

$\tan(\angle OB_1B) = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Альтернативное решение (векторное):

Найдем векторы, соответствующие прямым. Вектор $\vec{B_1O}$ и направляющий вектор прямой $DD_1$, например $\vec{DD_1}$.

$\vec{B_1O} = \left(\frac{a}{2}-a; \frac{a}{2}-0; 0-a\right) = \left(-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; -a\right)$

$\vec{DD_1} = (0-0; a-a; a-0) = (0; 0; a)$

Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{B_1O} \cdot \vec{DD_1}|}{|\vec{B_1O}| \cdot |\vec{DD_1}|}$

$\vec{B_1O} \cdot \vec{DD_1} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 + (-a) \cdot a = -a^2$

$|\vec{B_1O}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ (это и есть расстояние, найденное в п.1)

$|\vec{DD_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a$

$\cos\alpha = \frac{|-a^2|}{\frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot a} = \frac{a^2}{\frac{a^2\sqrt{6}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь найдем тангенс, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(\frac{\sqrt{6}}{3})^2} - 1 = \frac{1}{\frac{6}{9}} - 1 = \frac{9}{6} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\tan\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (угол между прямыми острый, поэтому тангенс положителен).

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$