Номер 10.3, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.3. Верно ли утверждение, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости?

Данное утверждение неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример, то есть найти такую прямую и плоскость, что прямая не перпендикулярна плоскости, но перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим в качестве примера куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Пусть дана плоскость основания $ \alpha = (ABC) $.Рассмотрим прямую $ a = A_1D $, которая является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$.

1. Докажем, что прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$.Проекцией наклонной $A_1D$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $AD$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В данном случае это угол $\angle A_1DA$. В треугольнике $\triangle AA_1D$, который является прямоугольным ($ \angle A_1AD = 90^\circ $) и равнобедренным ($AA_1 = AD$ как рёбра куба), угол $\angle A_1DA = 45^\circ$. Поскольку угол не равен $90^\circ$, прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

2. Теперь найдем в плоскости $(ABC)$ прямую, которой перпендикулярна прямая $A_1D$.Рассмотрим прямую $b = AB$, которая лежит в плоскости $(ABC)$. Докажем, что $A_1D \perp AB$.Ребро $AB$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой грани:

• $AB \perp AD$ (как смежные стороны квадрата $ABCD$).
• $AB \perp AA_1$ (так как боковые рёбра куба перпендикулярны основаниям).

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(ADD_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $(ADD_1)$. Следовательно, $AB \perp A_1D$.

Таким образом, мы показали, что прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$, но она перпендикулярна прямой $AB$, которая лежит в этой плоскости. Это является контрпримером к исходному утверждению.

Ответ: нет, утверждение неверно.