Номер 9.21, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.21. Все рёбра тетраэдра $DABC$ равны. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Найдите угол между прямыми $MN$ и $BC$.

Пусть $a$ — длина ребра тетраэдра $DABC$. Поскольку все рёбра тетраэдра равны, он является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной $a$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $MN$ и $BC$ воспользуемся методом параллельного переноса. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.

Рассмотрим грань $ABC$ и выберем на ребре $AC$ точку $K$, которая является его серединой. В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, следовательно, является средней линией. По свойству средней линии, $MK$ параллельна стороне $BC$ и равна её половине:

$MK \parallel BC$ и $MK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

Поскольку $MK \parallel BC$, искомый угол между прямыми $MN$ и $BC$ равен углу между пересекающимися прямыми $MN$ и $MK$. Этот угол является углом $\angle KMN$ в треугольнике $KMN$. Найдём стороны этого треугольника, чтобы определить угол.

Сторона $MK = \frac{a}{2}$, как мы уже установили.

Рассмотрим грань $ADC$. В треугольнике $ADC$ отрезок $NK$ соединяет середины сторон $CD$ и $AC$, поэтому $NK$ является средней линией. Следовательно, $NK$ параллельна стороне $AD$ и равна её половине:

$NK \parallel AD$ и $NK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

Теперь найдём длину стороны $MN$. Для этого рассмотрим треугольник $ABN$. Отрезки $AN$ и $BN$ являются медианами в равносторонних треугольниках $ADC$ и $BDC$ соответственно. Длина медианы (она же высота и биссектриса) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AN = BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник $ABN$ является равнобедренным с основанием $AB = a$. Точка $M$ — середина основания $AB$, поэтому отрезок $MN$ является медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник $AMN$ — прямоугольный ($\angle AMN = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MN^2 = AN^2 - AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Отсюда $MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Мы нашли все стороны треугольника $KMN$: $MK = \frac{a}{2}$, $NK = \frac{a}{2}$ и $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Проверим, является ли треугольник $KMN$ прямоугольным, применив обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:

$MK^2 + NK^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

$MN^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Так как $MK^2 + NK^2 = MN^2$, треугольник $KMN$ является прямоугольным, причём прямой угол $\angle MKN = 90^\circ$ лежит напротив гипотенузы $MN$.

Поскольку катеты $MK$ и $NK$ равны, треугольник $KMN$ также является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$. Следовательно, $\angle KMN = 45^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $MN$ и $BC$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.