Номер 9.18, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.18. Точка K — середина ребра DC куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите косинус угла между прямыми $B_1C$ и $C_1K$.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $B_1C$ и $C_1K$ воспользуемся методом координат.

1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$ куба. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $DA$, ось $Oy$ вдоль $DC$, ось $Oz$ вдоль $DD_1$.

2. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты необходимых нам вершин и точек будут следующими:

• $C(0, a, 0)$
• $B_1(a, a, a)$
• $C_1(0, a, a)$

3. Точка $K$ — середина ребра $DC$. Координаты точки $D$ — $(0, 0, 0)$, точки $C$ — $(0, a, 0)$. Следовательно, координаты точки $K$:
$K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = K\left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$.

4. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $B_1C$ и $C_1K$.

Для прямой $B_1C$ можно взять вектор $\vec{CB_1}$:
$\vec{CB_1} = \{x_{B_1} - x_C, y_{B_1} - y_C, z_{B_1} - z_C\} = \{a - 0, a - a, a - 0\} = \{a, 0, a\}$.

Для прямой $C_1K$ возьмем вектор $\vec{C_1K}$:
$\vec{C_1K} = \{x_K - x_{C_1}, y_K - y_{C_1}, z_K - z_{C_1}\} = \{0 - 0, \frac{a}{2} - a, 0 - a\} = \{0, -\frac{a}{2}, -a\}$.

5. Косинус угла $\phi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ и вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

6. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1K}$:

$\vec{CB_1} \cdot \vec{C_1K} = (a \cdot 0) + (0 \cdot (-\frac{a}{2})) + (a \cdot (-a)) = 0 + 0 - a^2 = -a^2$.

7. Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{CB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{C_1K}| = \sqrt{0^2 + (-\frac{a}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

8. Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|-a^2|}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a^2}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{5}$.