Номер 9.14, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.14. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно рёбер $AA_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте прямую, которая проходит через точку $D_1$, перпендикулярна прямой $EF$ и пересекает отрезок $EF$.

Искомая прямая должна проходить через точку $D_1$, быть перпендикулярной прямой $EF$ и пересекать отрезок $EF$. Обозначим точку пересечения через $H$. Таким образом, нам нужно построить прямую $D_1H$, где $H$ — точка на отрезке $EF$, и $D_1H \perp EF$.

Для нахождения точного положения точки $H$ на отрезке $EF$ воспользуемся координатным методом. Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ и осями, направленными вдоль рёбер $DA$, $DC$ и $DD_1$. Примем длину ребра куба за $a$.

В этой системе координат заданные точки будут иметь следующие координаты:

• $D_1(0, 0, a)$
• Точка $E$ — середина ребра $AA_1$, где $A(a,0,0)$ и $A_1(a,0,a)$. Следовательно, $E(a, 0, a/2)$.
• Точка $F$ — середина ребра $CD$, где $C(0,a,0)$ и $D(0,0,0)$. Следовательно, $F(0, a/2, 0)$.

Поскольку точка $H$ лежит на отрезке $EF$, её радиус-вектор $\vec{H}$ можно выразить через радиус-векторы точек $E$ и $F$ с помощью параметра $t \in [0, 1]$:

$\vec{H} = \vec{E} + t \cdot \vec{EF}$.

Найдём вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = (0-a, a/2-0, 0-a/2) = (-a, a/2, -a/2)$.

Тогда координаты точки $H$ в зависимости от $t$:

$H(a + t(-a), 0 + t(a/2), a/2 + t(-a/2)) = H(a(1-t), at/2, a/2(1-t))$.

Теперь найдём вектор $\vec{D_1H}$:

$\vec{D_1H} = (a(1-t) - 0, at/2 - 0, a/2(1-t) - a) = (a(1-t), at/2, -a/2(1+t))$.

Условие перпендикулярности прямых $D_1H$ и $EF$ заключается в том, что скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{D_1H}$ и $\vec{EF}$ равно нулю.

$\vec{D_1H} \cdot \vec{EF} = 0$

$(a(1-t))(-a) + (at/2)(a/2) + (-a/2(1+t))(-a/2) = 0$.

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (считая $a \neq 0$):

$-(1-t) + \frac{t}{4} + \frac{1+t}{4} = 0$

$-1 + t + \frac{t}{4} + \frac{1}{4} + \frac{t}{4} = 0$

$-\frac{3}{4} + t + \frac{2t}{4} = 0$

$-\frac{3}{4} + \frac{3t}{2} = 0$

$\frac{3t}{2} = \frac{3}{4}$

$t = \frac{1}{2}$.

Значение $t=1/2$ находится в пределах отрезка $[0,1]$, что подтверждает, что точка $H$ лежит на отрезке $EF$. При $t=1/2$ точка $H$ является серединой отрезка $EF$.

Таким образом, аналитически установлено, что искомая прямая проходит через точку $D_1$ и середину отрезка $EF$.

Построение:

1. Отмечаем точки $E$ и $F$ как середины рёбер $AA_1$ и $CD$ соответственно.
2. Строим точку $H$ — середину отрезка $EF$. Для этого можно использовать следующее вспомогательное построение:
   1. Строим точку $P$ — центр грани $ABB_1A_1$ (как точку пересечения диагоналей $A_1B$ и $AB_1$).
   2. Соединяем вершину $D$ с точкой $P$.
   3. Точка $H$ является серединой отрезка $DP$. (Можно доказать, что середина отрезка $DP$ совпадает с серединой отрезка $EF$, найдя их координаты).
3. Проводим прямую через точки $D_1$ и $H$.

Прямая $D_1H$ является искомой, так как она проходит через $D_1$, пересекает отрезок $EF$ в его середине и, как было доказано, перпендикулярна ему.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, соединяющая вершину $D_1$ с серединой $H$ отрезка $EF$. Для построения точки $H$ можно построить центр $P$ грани $ABB_1A_1$, а затем найти середину отрезка $DP$. Искомая прямая проходит через $D_1$ и эту точку.