Номер 9.13, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.13. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, сторона которого равна $a$, боковое ребро параллелепипеда равно $a\sqrt{3}$. Найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$.

По условию, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Боковое ребро параллелепипеда равно $a\sqrt{3}$. Требуется найти угол между скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $B_1C$.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $BCC_1B_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$. Вследствие этого, отрезок $B_1C$ (диагональ грани $BCC_1B_1$) параллелен отрезку $A_1D$ (соответствующей диагонали грани $ADD_1A_1$).

Таким образом, искомый угол между скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $B_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $AD_1$ и $A_1D$. Эти прямые лежат в одной плоскости — плоскости грани $ADD_1A_1$.

Рассмотрим прямоугольник $ADD_1A_1$. Его стороны равны $AD=a$ (сторона квадрата в основании) и $AA_1 = a\sqrt{3}$ (боковое ребро).

Прямые $AD_1$ и $A_1D$ являются диагоналями этого прямоугольника. Найдем длину диагонали $AD_1$ из прямоугольного треугольника $\triangle AD D_1$ (где $\angle D_1DA = 90^\circ$) по теореме Пифагора:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

$AD_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$

Диагонали прямоугольника равны, следовательно, $A_1D = AD_1 = 2a$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AD_1$ и $A_1D$. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам, поэтому:

$OA = OD = \frac{1}{2} A_1D = \frac{1}{2}(2a) = a$

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Мы знаем длины всех его сторон:

• $OA = a$
• $OD = a$
• $AD = a$ (по условию)

Так как все стороны треугольника $\triangle AOD$ равны, он является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOD = 60^\circ$.

Угол $\angle AOD$ является одним из углов между диагоналями $AD_1$ и $A_1D$. Поскольку $60^\circ$ — острый угол, это и есть угол между прямыми.

Значит, угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.