Номер 9.12, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.12. Диагонали грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол между прямыми $OB$ и $A_1C_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(0; a; 0)$
• $C(a; a; 0)$
• $A_1(0; 0; a)$
• $B_1(0; a; a)$
• $C_1(a; a; a)$

Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей грани $ABCD$, которая представляет собой квадрат. Следовательно, $O$ — середина диагонали $AC$. Найдем ее координаты:

$O = \left( \frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}; \frac{z_A+z_C}{2} \right) = \left( \frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0 \right)$

Угол между скрещивающимися прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты этих векторов.

Направляющий вектор для прямой $OB_1$ — это вектор $\vec{OB_1}$:

$\vec{OB_1} = \{x_{B_1}-x_O; y_{B_1}-y_O; z_{B_1}-z_O\} = \{0-\frac{a}{2}; a-\frac{a}{2}; a-0\} = \{-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; a\}$

Направляющий вектор для прямой $A_1C_1$ — это вектор $\vec{A_1C_1}$:

$\vec{A_1C_1} = \{x_{C_1}-x_{A_1}; y_{C_1}-y_{A_1}; z_{C_1}-z_{A_1}\} = \{a-0; a-0; a-a\} = \{a; a; 0\}$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{OB_1}$ и $\vec{A_1C_1}$ по формуле скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{\vec{OB_1} \cdot \vec{A_1C_1}}{|\vec{OB_1}| \cdot |\vec{A_1C_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{OB_1} \cdot \vec{A_1C_1} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + (\frac{a}{2}) \cdot a + a \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

$\cos \phi = 0 \implies \phi = 90^\circ$

Следовательно, угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.