gdz.top
Номер 9.9, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 9. Угол между прямыми в пространстве - номер 9.9, страница 109.
№9.8
№9.9 (с. 109)
Условие. №9.9 (с. 109)
9.9. Известно, что $AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$ (рис. 9.11). Найдите отрезок $BC$, если $CD = 2\sqrt{43}$ см, $BD = 12$ см, $\angle ABD = 60^{\circ}$.
Рис. 9.11
Решение. №9.9 (с. 109)
Решение 2. №9.9 (с. 109)
По условию задачи, отрезки $AB$, $AC$ и $AD$ попарно перпендикулярны ($AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$). Это означает, что мы имеем дело с прямоугольным тетраэдром, у которого в вершине $A$ сходятся три прямых угла. Следовательно, треугольники $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$, в котором $\angle BAD = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $BD = 12$ см и $\angle ABD = 60^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, найдем длины катетов $AB$ и $AD$:
Катет $AB$ прилежит к углу $\angle ABD$, поэтому $AB = BD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Катет $AD$ противолежит углу $\angle ABD$, поэтому $AD = BD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором $\angle CAD = 90^\circ$. Нам известна длина гипотенузы $CD = 2\sqrt{43}$ см и длина катета $AD = 6\sqrt{3}$ см (найденная на предыдущем шаге). Применим теорему Пифагора ($AC^2 + AD^2 = CD^2$) для нахождения длины катета $AC$:
$AC^2 = CD^2 - AD^2$
$AC^2 = (2\sqrt{43})^2 - (6\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 43) - (36 \cdot 3) = 172 - 108 = 64$.
$AC = \sqrt{64} = 8$ см.
3. Наконец, найдем искомый отрезок $BC$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle BAC = 90^\circ$). Длины катетов нам известны: $AB = 6$ см и $AC = 8$ см. Снова применим теорему Пифагора ($BC^2 = AB^2 + AC^2$):
$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$BC = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 9.9 расположенного на странице 109 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №9.9 (с. 109), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.