Страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.6. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и треугольник $MEF$ не лежат в одной плоскости, точка $E$ — середина отрезка $AB$, точка $F$ — середина отрезка $CD$, $ME = FE$, $\angle MEF = 110^{\circ}$. Найдите угол между прямыми:

1) $AD$ и $EF$;

2) $AD$ и $ME$;

3) $BC$ и $MF$.

1) AD и EF;

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, отрезок $EF$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$. Следовательно, $EF$ является средней линией трапеции. По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Таким образом, прямая $EF$ параллельна прямой $AD$ ($EF \parallel AD$). Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

2) AD и ME;

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Так как трапеция $ABCD$ и треугольник $MEF$ не лежат в одной плоскости, прямые $AD$ и $ME$ являются скрещивающимися.

Из пункта 1 мы знаем, что $AD \parallel EF$. Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $ME$ равен углу между прямыми $EF$ и $ME$.

По условию $\angle MEF = 110^\circ$. Угол между прямыми по определению является наименьшим из углов, образованных при их пересечении, и не может превышать $90^\circ$. Смежный с $\angle MEF$ угол равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Этот угол и является углом между прямыми $EF$ и $ME$.

Ответ: $70^\circ$.

3) BC и MF.

Основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Средняя линия $EF$ также параллельна основаниям, поэтому $BC \parallel EF$.

Угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $MF$ равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Так как $BC \parallel EF$, искомый угол равен углу между прямыми $MF$ и $EF$. Этот угол — это $\angle MFE$ в треугольнике $MEF$.

Рассмотрим $\triangle MEF$. По условию $ME = FE$, значит, треугольник является равнобедренным с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle FME = \angle MFE$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle MEF + \angle FME + \angle MFE = 180^\circ$

Подставляем известные значения:

$110^\circ + 2 \cdot \angle MFE = 180^\circ$

$2 \cdot \angle MFE = 180^\circ - 110^\circ$

$2 \cdot \angle MFE = 70^\circ$

$\angle MFE = 35^\circ$

Так как $\angle MFE = 35^\circ$ является острым углом, он и есть угол между прямыми $MF$ и $EF$. Следовательно, угол между $BC$ и $MF$ также равен $35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.

9.7. Параллелограмм $ABCD$ и треугольник $AED$ не лежат в одной плоскости (рис. 9.10). Найдите угол между прямыми $BC$ и $AE$, если $\angle AED = 70^\circ$, $\angle ADE = 30^\circ$.

Рис. 9.10

По определению, углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

В данной задаче нам нужно найти угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $AE$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

Следовательно, угол между прямыми $BC$ и $AE$ равен углу между параллельной ей прямой $AD$ и прямой $AE$.

Прямые $AD$ и $AE$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости треугольника $AED$. Угол между ними — это угол $\angle DAE$.

Рассмотрим треугольник $AED$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. В треугольнике $AED$ нам известны два угла: $\angle AED = 70^\circ$ и $\angle ADE = 30^\circ$.

Найдем третий угол, $\angle DAE$:

$\angle DAE + \angle ADE + \angle AED = 180^\circ$

$\angle DAE + 30^\circ + 70^\circ = 180^\circ$

$\angle DAE + 100^\circ = 180^\circ$

$\angle DAE = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

Так как угол между прямыми $AD$ и $AE$ равен $80^\circ$, а прямая $BC$ параллельна прямой $AD$, то искомый угол между прямыми $BC$ и $AE$ также равен $80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$.

9.8. Известно, что $AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$ (рис. 9.11). Найдите отрезок $CD$, если $BC = 17$ см, $AB = 15$ см, $BD = 3\sqrt{29}$ см.

Рис. 9.11

Из условия задачи следует, что отрезки $AB$, $AC$ и $AD$ попарно перпендикулярны. Это означает, что три треугольника, имеющие общую вершину $A$ — $ABC$, $ABD$ и $ACD$ — являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle BAC = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Зная длину гипотенузы $BC = 17$ см и катета $AB = 15$ см, найдем длину второго катета $AC$:

$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ ($\angle BAD = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $BD^2 = AB^2 + AD^2$. Зная длину гипотенузы $BD = 3\sqrt{29}$ см и катета $AB = 15$ см, найдем длину катета $AD$:

$AD^2 = BD^2 - AB^2 = (3\sqrt{29})^2 - 15^2 = (9 \cdot 29) - 225 = 261 - 225 = 36$

$AD = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ ($\angle CAD = 90^\circ$). Искомый отрезок $CD$ является его гипотенузой, а катетами служат отрезки $AC$ и $AD$, длины которых мы уже вычислили. Применим теорему Пифагора еще раз:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

9.9. Известно, что $AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$ (рис. 9.11). Найдите отрезок $BC$, если $CD = 2\sqrt{43}$ см, $BD = 12$ см, $\angle ABD = 60^{\circ}$.

Рис. 9.11

По условию задачи, отрезки $AB$, $AC$ и $AD$ попарно перпендикулярны ($AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$). Это означает, что мы имеем дело с прямоугольным тетраэдром, у которого в вершине $A$ сходятся три прямых угла. Следовательно, треугольники $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$, в котором $\angle BAD = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $BD = 12$ см и $\angle ABD = 60^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, найдем длины катетов $AB$ и $AD$:
Катет $AB$ прилежит к углу $\angle ABD$, поэтому $AB = BD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Катет $AD$ противолежит углу $\angle ABD$, поэтому $AD = BD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором $\angle CAD = 90^\circ$. Нам известна длина гипотенузы $CD = 2\sqrt{43}$ см и длина катета $AD = 6\sqrt{3}$ см (найденная на предыдущем шаге). Применим теорему Пифагора ($AC^2 + AD^2 = CD^2$) для нахождения длины катета $AC$:
$AC^2 = CD^2 - AD^2$
$AC^2 = (2\sqrt{43})^2 - (6\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 43) - (36 \cdot 3) = 172 - 108 = 64$.
$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Наконец, найдем искомый отрезок $BC$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle BAC = 90^\circ$). Длины катетов нам известны: $AB = 6$ см и $AC = 8$ см. Снова применим теорему Пифагора ($BC^2 = AB^2 + AC^2$):
$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$BC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

9.10. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$, точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно (рис. 9.12).

1) Докажите, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.

2) Найдите отрезок $MK$.

Рис. 9.12

1) Докажите, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.
Так как все ребра тетраэдра $DABC$ равны $a$, то тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной $a$.

Доказательство перпендикулярности $MK$ и $AB$:
Рассмотрим треугольник $ABD$. Он равносторонний. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с серединой противоположной стороны $AB$, следовательно, $DM$ — медиана. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой, поэтому $DM \perp AB$.
Аналогично, в равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является медианой и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.
Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $CM$, лежащим в плоскости $DMC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $DMC$.
Так как отрезок $MK$ лежит в плоскости $DMC$ (точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости), то $MK \perp AB$.

Доказательство перпендикулярности $MK$ и $CD$:
Рассмотрим треугольник $ACD$. Он равносторонний. Отрезок $AK$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $CD$, следовательно, $AK$ — медиана и высота, поэтому $AK \perp CD$.
Аналогично, в равностороннем треугольнике $BCD$ отрезок $BK$ является медианой и высотой, следовательно, $BK \perp CD$.
Прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AK$ и $BK$, лежащим в плоскости $ABK$. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABK$.
Так как отрезок $MK$ лежит в плоскости $ABK$ (точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости), то $MK \perp CD$.

Таким образом, доказано, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.
Ответ: Доказано.

2) Найдите отрезок MK.
Рассмотрим треугольник $DMC$.
Стороны $DM$ и $CM$ являются высотами в равносторонних треугольниках $ABD$ и $ABC$ соответственно. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $DM = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Это означает, что треугольник $DMC$ является равнобедренным с основанием $CD = a$.
Точка $K$ — середина основания $CD$. Следовательно, $MK$ является медианой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Таким образом, $MK \perp CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKC$. В нем:
Гипотенуза $MC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Катет $KC = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$.
По теореме Пифагора найдем катет $MK$:
$MK^2 = MC^2 - KC^2$
$MK^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$MK = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

9.11. Точки E, F, M и K — середины соответственно рёбер AB, BC, AD и BD тетраэдра DABC (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми EF и MK, если $\angle BAC = \alpha$.

Рис. 9.13

Угол между скрещивающимися прямыми по определению — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $EF \parallel AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AD$ и $BD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $MK \parallel AB$.

Так как $EF \parallel AC$ и $MK \parallel AB$, то угол между скрещивающимися прямыми $EF$ и $MK$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $AB$.

Угол между прямыми $AC$ и $AB$ — это угол $\angle BAC$. По условию задачи $\angle BAC = \alpha$. Следовательно, искомый угол между прямыми $EF$ и $MK$ также равен $\alpha$.

Ответ: $\alpha$.