Страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

2. Что называют углом между двумя скрещивающимися прямыми?

3. Какие две прямые в пространстве называют перпендикулярными?

4. Какие два отрезка в пространстве называют перпендикулярными?

1. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

При пересечении двух прямых в одной плоскости образуются четыре угла. Эти углы попарно равны как вертикальные. Если один из углов прямой ($90^\circ$), то и остальные три тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые перпендикулярны. Если углы не прямые, то образуются две пары углов: два равных острых и два равных тупых. Углом между двумя пересекающимися прямыми принято называть величину меньшего (острого) из углов, образованных при их пересечении. Таким образом, если $\alpha$ — угол между пересекающимися прямыми, то его величина всегда находится в промежутке $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из углов, образованных при их пересечении.

2. Что называют углом между двумя скрещивающимися прямыми?

Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны (т.е. не лежат в одной плоскости). Для определения угла между такими прямыми используется следующий метод: через любую произвольно взятую точку пространства $M$ проводят две прямые, скажем $a_1$ и $b_1$, так, чтобы первая была параллельна первой скрещивающейся прямой $a$, а вторая — второй скрещивающейся прямой $b$. Прямые $a_1$ и $b_1$ будут пересекаться в точке $M$. Угол между этими пересекающимися прямыми $a_1$ и $b_1$ и называется углом между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$. Важно отметить, что величина этого угла не зависит от выбора точки $M$.

Ответ: Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

3. Какие две прямые в пространстве называют перпендикулярными?

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Это определение является общим и применяется как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым. Таким образом, если две прямые пересекаются под углом $90^\circ$, они перпендикулярны. Если две прямые скрещиваются, и угол между ними (найденный по правилу из пункта 2) равен $90^\circ$, они также называются перпендикулярными.

Ответ: Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$.

4. Какие два отрезка в пространстве называют перпендикулярными?

Понятие перпендикулярности для отрезков определяется через перпендикулярность содержащих их прямых. Два отрезка в пространстве называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. При этом сами отрезки могут пересекаться, а могут и не иметь общих точек (например, если они лежат на скрещивающихся перпендикулярных прямых).

Ответ: Два отрезка в пространстве называют перпендикулярными, если прямые, содержащие эти отрезки, перпендикулярны.

9.1. Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку: 1) принадлежащую данной прямой; 2) не принадлежащую данной прямой?

1) принадлежащую данной прямой

Рассмотрим данную прямую $l$ и точку $A$, которая лежит на этой прямой ($A \in l$). Согласно аксиоме стереометрии, через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Проведем через точку $A$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$.
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $l$ будет перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку их пересечения, то есть через точку $A$.
В плоскости $\alpha$ через точку $A$ можно провести бесконечное множество различных прямых. Каждая из этих прямых будет проходить через точку $A$ и будет перпендикулярна прямой $l$.
Таким образом, в пространстве существует бесконечно много прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через точку, принадлежащую этой прямой. Совокупность всех таких прямых образует плоскость, перпендикулярную данной прямой в данной точке.
Ответ: бесконечно много.

2) не принадлежащую данной прямой

Рассмотрим данную прямую $l$ и точку $B$, которая не лежит на этой прямой ($B \notin l$).
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем через прямую $l$ и точку $B$ плоскость $\alpha$.
Теперь задача сводится к планиметрической: в плоскости $\alpha$ найти количество прямых, проходящих через точку $B$ и перпендикулярных прямой $l$. Из курса планиметрии известно, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Пусть это будет прямая $m$, пересекающая $l$ в точке $C$.
Докажем, что в пространстве не существует других прямых, удовлетворяющих условию. Предположим, что существует еще одна прямая $m'$, проходящая через точку $B$ и перпендикулярная $l$, но не лежащая в плоскости $\alpha$. Пусть она пересекает прямую $l$ в точке $D$.
Так как $m \perp l$ и $m' \perp l$, то отрезки $BC$ и $BD$ являются перпендикулярами из точки $B$ к прямой $l$.
Если точки $C$ и $D$ совпадают, то прямые $m$ и $m'$ проходят через две общие точки ($B$ и $C$), а значит, они совпадают. Это противоречит нашему предположению, что $m'$ — это другая прямая.
Если точки $C$ и $D$ различны, то они вместе с точкой $B$ образуют треугольник $BCD$. В этом треугольнике $BC \perp CD$ (так как $BC \perp l$) и $BD \perp CD$ (так как $BD \perp l$). Это означает, что треугольник $BCD$ имеет два прямых угла: $\angle BCD = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$. Сумма углов в евклидовом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому наличие двух прямых углов невозможно.
Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным. Следовательно, существует только одна такая прямая.
Ответ: одна.

9.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми:

1) $CD$ и $BC$;

2) $AA_1$ и $C_1D_1$;

3) $AA_1$ и $D_1C$;

4) $AC$ и $B_1D_1$;

5) $A_1C_1$ и $AC$.

Рис. 9.8

1) Прямые $CD$ и $BC$ пересекаются в точке $C$. Так как в основании куба лежит квадрат $ABCD$, а $CD$ и $BC$ являются его смежными сторонами, то угол между ними прямой. $CD \perp BC$.
Ответ: $90^\circ$.

2) Прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $AA_1$ на вектор $\vec{AD}$, в результате чего прямая $AA_1$ совпадет с прямой $DD_1$. Угол между прямыми $AA_1$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $DD_1$ и $C_1D_1$. Прямые $DD_1$ и $C_1D_1$ являются смежными ребрами квадрата $CDD_1C_1$, следовательно, они перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.

3) Прямые $AA_1$ и $D_1C$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $AA_1$ на вектор $\vec{AD}$, прямая $AA_1$ совпадет с прямой $DD_1$. Искомый угол будет равен углу между прямыми $DD_1$ и $D_1C$. Эти прямые лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$ и пересекаются в точке $D_1$. $D_1C$ является диагональю квадрата $CDD_1C_1$. Угол между стороной квадрата ($DD_1$) и его диагональю ($D_1C$) равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

4) Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $B_1D_1$ на вектор $\vec{B_1B}$, в результате чего прямая $B_1D_1$ совпадет с прямой $BD$. Угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$. $AC$ и $BD$ — это диагонали квадрата $ABCD$. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
Ответ: $90^\circ$.

5) Прямые $A_1C_1$ и $AC$ являются диагоналями соответственно верхней и нижней граней куба. Так как грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABCD$, а отрезки $AA_1$ и $CC_1$ равны и параллельны, то четырехугольник $ACC_1A_1$ — прямоугольник. Его противоположные стороны $AC$ и $A_1C_1$ параллельны. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

9.3. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми:

1) $AB$ и $BB_1$;

2) $AB$ и $B_1D_1$;

3) $A_1D$ и $B_1C$;

4) $B_1D_1$ и $C_1C$.

Рис. 9.8

Для нахождения углов между прямыми в кубе будем использовать свойства куба: все грани — квадраты, смежные ребра перпендикулярны, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Угол между скрещивающимися прямыми находится как угол между пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна одной из данных, а другая — другой (или совпадает с ней).

Прямые AB и BB₁ являются смежными ребрами куба. Они лежат в плоскости грани ABB₁A₁, которая является квадратом. Угол между смежными сторонами квадрата составляет 90°. Следовательно, прямые AB и BB₁ перпендикулярны.

Ответ: 90°.

Прямые AB и B₁D₁ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос прямой B₁D₁ в плоскость нижнего основания ABCD. Прямая B₁D₁ параллельна диагонали BD.

Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми AB и BD. Эти прямые лежат в плоскости квадрата ABCD. Угол ABD — это угол между стороной квадрата AB и его диагональю BD. В квадрате диагональ является биссектрисой его углов, поэтому угол ABD равен $90° / 2 = 45°$.

Ответ: 45°.

Прямые A₁D и B₁C являются диагоналями боковых граней ADD₁A₁ и BCC₁B₁ соответственно. Это скрещивающиеся прямые. Рассмотрим четырехугольник A₁B₁CD. В кубе ребро A₁B₁ параллельно и равно ребру DC. Следовательно, по признаку параллелограмма, A₁B₁CD — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому прямая A₁D параллельна прямой B₁C.

Угол между параллельными прямыми по определению равен 0°.

Ответ: 0°.

Прямые B₁D₁ и C₁C являются скрещивающимися. Прямая C₁C — это боковое ребро куба. Все боковые ребра куба параллельны, поэтому прямая C₁C параллельна прямой D₁D. Значит, угол между прямыми B₁D₁ и C₁C равен углу между прямыми B₁D₁ и D₁D.

Ребро D₁D перпендикулярно плоскости верхнего основания A₁B₁C₁D₁, так как это куб. Прямая B₁D₁, как диагональ грани A₁B₁C₁D₁, лежит в этой плоскости. По свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая (D₁D) перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой (B₁D₁), лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения (D₁). Таким образом, угол между B₁D₁ и D₁D равен 90°.

Ответ: 90°.

9.4. Точка $M$, не принадлежащая плоскости прямоугольника $ABCD$, такова, что треугольник $CMD$ равносторонний (рис. 9.9). Найдите угол между прямыми $AB$ и $MC$.

Рис. 9.9

9.4. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

В данной задаче требуется найти угол между прямыми $AB$ и $MC$. Эти прямые являются скрещивающимися, поскольку точка $M$ не принадлежит плоскости прямоугольника $ABCD$, а прямая $AB$ лежит в этой плоскости.

Фигура $ABCD$ является прямоугольником, следовательно, ее противоположные стороны параллельны. В частности, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$: $AB \parallel DC$.

Исходя из определения угла между скрещивающимися прямыми, угол между прямыми $AB$ и $MC$ равен углу между прямыми $DC$ и $MC$.

Прямые $DC$ и $MC$ пересекаются в точке $C$, образуя угол $\angle MCD$, который является внутренним углом треугольника $CMD$.

По условию задачи, треугольник $CMD$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle MCD = 60^\circ$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AB$ и $MC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

9.5. Точка M не принадлежит плоскости квадрата $ABCD$, $\angle MBA = 40^\circ$, $\angle MBC = 90^\circ$. Найдите угол между прямыми: 1) $MB$ и $AD$; 2) $MB$ и $CD$.

1) MB и AD

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Прямые $MB$ и $AD$ являются скрещивающимися, так как точка $M$ не лежит в плоскости квадрата $ABCD$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$).

Следовательно, угол между прямыми $MB$ и $AD$ равен углу между прямой $MB$ и параллельной ей прямой $BC$. Этот угол равен $\angle MBC$.

По условию задачи, $\angle MBC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) MB и CD

Прямые $MB$ и $CD$ также являются скрещивающимися.

В квадрате $ABCD$ сторона $CD$ параллельна стороне $BA$ ($CD \parallel BA$).

Следовательно, угол между прямыми $MB$ и $CD$ равен углу между прямой $MB$ и параллельной ей прямой $BA$. Этот угол равен $\angle MBA$.

По условию задачи, $\angle MBA = 40^\circ$.

По определению, угол между прямыми не может быть больше $90^\circ$. Так как $40^\circ < 90^\circ$, то искомый угол равен $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.