Номер 9.1, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.1. Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку: 1) принадлежащую данной прямой; 2) не принадлежащую данной прямой?

1) принадлежащую данной прямой

Рассмотрим данную прямую $l$ и точку $A$, которая лежит на этой прямой ($A \in l$). Согласно аксиоме стереометрии, через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Проведем через точку $A$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$.
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $l$ будет перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку их пересечения, то есть через точку $A$.
В плоскости $\alpha$ через точку $A$ можно провести бесконечное множество различных прямых. Каждая из этих прямых будет проходить через точку $A$ и будет перпендикулярна прямой $l$.
Таким образом, в пространстве существует бесконечно много прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через точку, принадлежащую этой прямой. Совокупность всех таких прямых образует плоскость, перпендикулярную данной прямой в данной точке.
Ответ: бесконечно много.

2) не принадлежащую данной прямой

Рассмотрим данную прямую $l$ и точку $B$, которая не лежит на этой прямой ($B \notin l$).
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем через прямую $l$ и точку $B$ плоскость $\alpha$.
Теперь задача сводится к планиметрической: в плоскости $\alpha$ найти количество прямых, проходящих через точку $B$ и перпендикулярных прямой $l$. Из курса планиметрии известно, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Пусть это будет прямая $m$, пересекающая $l$ в точке $C$.
Докажем, что в пространстве не существует других прямых, удовлетворяющих условию. Предположим, что существует еще одна прямая $m'$, проходящая через точку $B$ и перпендикулярная $l$, но не лежащая в плоскости $\alpha$. Пусть она пересекает прямую $l$ в точке $D$.
Так как $m \perp l$ и $m' \perp l$, то отрезки $BC$ и $BD$ являются перпендикулярами из точки $B$ к прямой $l$.
Если точки $C$ и $D$ совпадают, то прямые $m$ и $m'$ проходят через две общие точки ($B$ и $C$), а значит, они совпадают. Это противоречит нашему предположению, что $m'$ — это другая прямая.
Если точки $C$ и $D$ различны, то они вместе с точкой $B$ образуют треугольник $BCD$. В этом треугольнике $BC \perp CD$ (так как $BC \perp l$) и $BD \perp CD$ (так как $BD \perp l$). Это означает, что треугольник $BCD$ имеет два прямых угла: $\angle BCD = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$. Сумма углов в евклидовом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому наличие двух прямых углов невозможно.
Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным. Следовательно, существует только одна такая прямая.
Ответ: одна.