Номер 8.40, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.40. Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах $AB$ и $CD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что отрезок $MK$ параллелен основаниям трапеции и делит трапецию на две равновеликие части. Найдите отрезок $MK$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию, $BC = 2$ см, $AD = 14$ см. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, так что отрезок $MK$ параллелен основаниям ($MK \parallel AD \parallel BC$). Отрезок $MK$ делит трапецию $ABCD$ на две равновеликие части, то есть на две трапеции $MBCK$ и $AMKD$ с равными площадями.

Обозначим длину искомого отрезка $MK$ через $x$. Пусть высота трапеции $ABCD$ равна $h$. Тогда площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле:$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{2 + 14}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot h = 8h$.

Поскольку отрезок $MK$ делит трапецию на две равновеликие части, площади трапеций $MBCK$ и $AMKD$ равны половине площади трапеции $ABCD$:$S_{MBCK} = S_{AMKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 8h = 4h$.

Пусть высота трапеции $MBCK$ равна $h_1$, а высота трапеции $AMKD$ равна $h_2$. Сумма этих высот равна высоте исходной трапеции: $h_1 + h_2 = h$.

Запишем формулы для площадей этих двух трапеций:$S_{MBCK} = \frac{BC + MK}{2} \cdot h_1 = \frac{2 + x}{2} \cdot h_1$.$S_{AMKD} = \frac{MK + AD}{2} \cdot h_2 = \frac{x + 14}{2} \cdot h_2$.

Мы получили систему уравнений:
1) $\frac{2 + x}{2} \cdot h_1 = 4h$
2) $\frac{x + 14}{2} \cdot h_2 = 4h$
3) $h_1 + h_2 = h$

Выразим $h_1$ и $h_2$ из первых двух уравнений:
$h_1 = \frac{8h}{2+x}$
$h_2 = \frac{8h}{x+14}$

Теперь подставим полученные выражения для $h_1$ и $h_2$ в третье уравнение:$\frac{8h}{2+x} + \frac{8h}{x+14} = h$

Так как высота $h$ трапеции не равна нулю ($h>0$), мы можем разделить обе части уравнения на $h$:$\frac{8}{2+x} + \frac{8}{x+14} = 1$

Решим это уравнение относительно $x$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$8 \left( \frac{1}{2+x} + \frac{1}{x+14} \right) = 1$
$8 \left( \frac{(x+14) + (2+x)}{(2+x)(x+14)} \right) = 1$
$8 \frac{2x+16}{(2+x)(x+14)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $(2+x)(x+14)$, предполагая, что $x \neq -2$ и $x \neq -14$, что верно, так как $x$ - длина отрезка.$8(2x+16) = (2+x)(x+14)$
$16x + 128 = 2x + 28 + x^2 + 14x$
$16x + 128 = x^2 + 16x + 28$

Вычтем $16x$ из обеих частей уравнения:$128 = x^2 + 28$
$x^2 = 128 - 28$
$x^2 = 100$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Следовательно, $x = \sqrt{100} = 10$.Таким образом, длина отрезка $MK$ равна 10 см.
Ответ: 10 см.