Номер 8.34, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.34. Существует ли пятиугольник, отличный от правильного, каждая диагональ которого параллельна некоторой стороне?

Да, такой пятиугольник существует. Его можно построить, применив аффинное преобразование к правильному пятиугольнику.

1. Свойства правильного пятиугольника

Рассмотрим правильный пятиугольник $ABCDE$. В силу его симметрии, каждая диагональ параллельна одной из его сторон. А именно, диагональ, соединяющая две вершины, параллельна стороне, образованной тремя другими вершинами, которые не лежат на диагонали. Конкретно:

• диагональ $AC$ параллельна стороне $ED$;
• диагональ $BD$ параллельна стороне $AE$;
• диагональ $CE$ параллельна стороне $AB$;
• диагональ $DA$ параллельна стороне $BC$;
• диагональ $EB$ параллельна стороне $CD$.

2. Применение аффинного преобразования

Теперь применим к этому правильному пятиугольнику аффинное преобразование плоскости, которое не является преобразованием подобия. В качестве такого преобразования выберем растяжение вдоль оси $Ox$ в два раза, оставляя координаты по оси $Oy$ без изменений. В декартовой системе координат это преобразование задается формулой $f(x, y) = (2x, y)$.

Аффинные преобразования обладают фундаментальным свойством сохранять параллельность прямых. Если до преобразования прямая $l_1$ была параллельна прямой $l_2$, то их образы $f(l_1)$ и $f(l_2)$ также будут параллельны.

Пусть $A', B', C', D', E'$ — вершины нового пятиугольника, полученного из вершин $A, B, C, D, E$ применением указанного преобразования. Поскольку в исходном пятиугольнике диагональ $AC$ была параллельна стороне $ED$ ($AC \parallel ED$), то и в новом пятиугольнике диагональ $A'C'$ будет параллельна стороне $E'D'$ ($A'C' \parallel E'D'$). Это справедливо для всех пяти пар диагоналей и сторон. Таким образом, полученный пятиугольник $A'B'C'D'E'$ удовлетворяет условию задачи.

3. Доказательство того, что полученный пятиугольник не является правильным

Осталось показать, что пятиугольник $A'B'C'D'E'$ не является правильным. Преобразование $f(x, y) = (2x, y)$ не является преобразованием подобия, так как оно изменяет углы и соотношения длин отрезков, которые не параллельны осям координат.

Пусть $M$ — матрица линейного преобразования, соответствующего растяжению: $M=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Если $\vec{s}$ — вектор, соответствующий какой-либо стороне исходного правильного пятиугольника, то вектор соответствующей стороны нового пятиугольника равен $M\vec{s}$. Длина стороны при этом изменяется. Пусть $\vec{s}=(x, y)$. Тогда его длина в квадрате равна $|\vec{s}|^2 = x^2+y^2$. Длина новой стороны в квадрате будет $|M\vec{s}|^2 = (2x)^2+y^2 = 4x^2+y^2$.

В правильном пятиугольнике все стороны имеют одинаковую длину, скажем $L$, так что для вектора любой стороны $x^2+y^2=L^2$. Длина стороны нового пятиугольника в квадрате равна $4x^2+y^2 = x^2+y^2+3x^2 = L^2+3x^2$. Чтобы все стороны нового пятиугольника были равны, необходимо, чтобы величина $x^2$ (квадрат проекции вектора стороны на ось $Ox$) была одинаковой для всех сторон. Однако в правильном пятиугольнике это не так. Например, если расположить правильный пятиугольник так, чтобы одна из его сторон была параллельна оси $Oy$, то ее проекция на ось $Ox$ будет равна нулю ($x=0$), а у соседней стороны проекция на ось $Ox$ очевидно не будет нулевой (так как углы в правильном пятиугольнике равны $108^\circ$). Длины их образов после преобразования будут $L$ (для стороны с $x=0$) и $\sqrt{L^2+3x^2}$ (для соседней стороны с $x \ne 0$), то есть они будут различны. Следовательно, полученный пятиугольник не является правильным.

Таким образом, мы построили пятиугольник, не являющийся правильным, у которого каждая диагональ параллельна одной из его сторон.

Ответ: Да, существует.