Номер 8.27, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.27. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$.

Постройте изображение квадрата:

1) вписанного в данную окружность;

2) описанного около данной окружности.

В основе решения лежит свойство параллельного проецирования: при параллельном проецировании окружность изображается в виде эллипса, а пара перпендикулярных диаметров окружности изображается в виде пары так называемых сопряженных диаметров эллипса. Центр окружности $O$ при этом проецируется в центр эллипса $O_1$.

Сопряженные диаметры эллипса — это пара диаметров, такая что касательные к эллипсу в концах одного диаметра параллельны другому диаметру. Для построения удобно использовать большую и малую оси эллипса, так как они являются частным случаем сопряженных диаметров и при этом взаимно перпендикулярны, что упрощает построение.

Диагонали квадрата, вписанного в окружность, являются ее взаимно перпендикулярными диаметрами. Вершины квадрата лежат на окружности. Следовательно, изображением такого квадрата будет параллелограмм, диагонали которого — сопряженные диаметры эллипса, а вершины лежат на самом эллипсе.

Порядок построения:

1. В данном эллипсе с центром $O_1$ строим два любых сопряженных диаметра. Проще всего построить большую ось $A_1C_1$ и малую ось $B_1D_1$ эллипса.
2. Последовательно соединяем концы построенных диаметров: точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

Полученный параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является искомым изображением квадрата, вписанного в окружность.

Ответ: Изображением вписанного в окружность квадрата является параллелограмм, вершины которого являются концами двух сопряженных диаметров эллипса-изображения.

Стороны квадрата, описанного около окружности, касаются ее в точках, являющихся концами двух взаимно перпендикулярных диаметров. Каждая сторона квадрата параллельна одному из этих диаметров. При проецировании это свойство сохраняется: изображение стороны квадрата будет касаться эллипса в конце одного из сопряженных диаметров и будет параллельно другому сопряженному диаметру.

Порядок построения:

1. В данном эллипсе с центром $O_1$ строим два сопряженных диаметра, например, большую ось $A_1C_1$ и малую ось $B_1D_1$.
2. Через концы диаметра $A_1C_1$ проводим прямые, параллельные диаметру $B_1D_1$.
3. Через концы диаметра $B_1D_1$ проводим прямые, параллельные диаметру $A_1C_1$.

Эти четыре прямые, касаясь эллипса в точках $A_1, C_1, B_1, D_1$, образуют параллелограмм. Этот параллелограмм и является искомым изображением квадрата, описанного около окружности.

Ответ: Изображением описанного около окружности квадрата является параллелограмм, стороны которого касаются эллипса в концах двух сопряженных диаметров, причем каждая сторона параллельна тому диаметру, в концах которого она не касается эллипса.