Номер 8.31, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.31. Четырёхугольник $A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 8.42) является изображением прямоугольной трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$), точка $O_1$ — изображение центра окружности, вписанной в эту трапецию. Постройте изображение точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

Рис. 8.42

Для построения изображений точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции с вписанной окружностью и свойствами параллельного проектирования (которое сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков на параллельных прямых, в частности, середину отрезка).

Пусть $ABCD$ — исходная прямоугольная трапеция ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$), а $A_1B_1C_1D_1$ — её изображение. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $O_1$ — его изображение. Обозначим точки касания на сторонах $AB, BC, CD, AD$ как $K, L, M, N$ соответственно. Нам нужно построить их изображения $K_1, L_1, M_1, N_1$.

1. Построение точки касания $K_1$ на стороне $A_1B_1$

В прямоугольной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$, перпендикулярная основаниям, является высотой и равна диаметру вписанной окружности ($AB = 2r$, где $r$ — радиус). Центр окружности $O$ удалён от стороны $AB$ на расстояние $r$. Радиус $OK$, проведённый к точке касания $K$ на стороне $AB$, перпендикулярен этой стороне. Так как и $AD \perp AB$, и $BC \perp AB$, то четырёхугольники $AKON$ и $BKOL$ являются квадратами со стороной $r$. Отсюда следует, что $AK = BK = r$, значит, точка $K$ является серединой отрезка $AB$.

При параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его изображения. Следовательно, точка $K_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$.

Построение: Строим середину отрезка $A_1B_1$ и обозначаем её $K_1$.

2. Построение точек касания $L_1$ на стороне $B_1C_1$ и $N_1$ на стороне $A_1D_1$

Радиусы, проведённые в точки касания $L$ и $N$ на параллельных основаниях $BC$ и $AD$, перпендикулярны этим основаниям. Следовательно, отрезок $LN$ является диаметром окружности и параллелен боковой стороне $AB$ ($LN \parallel AB$). Центр окружности $O$ является серединой этого диаметра.

При параллельном проектировании параллельность прямых сохраняется. Значит, изображение $L_1N_1$ будет параллельно изображению $A_1B_1$, и изображение центра $O_1$ будет лежать на отрезке $L_1N_1$.

Построение: Через точку $O_1$ проводим прямую, параллельную стороне $A_1B_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $B_1C_1$ есть точка $L_1$. Точка пересечения этой же прямой со стороной $A_1D_1$ есть точка $N_1$.

3. Построение точки касания $M_1$ на стороне $C_1D_1$

Воспользуемся свойством любого описанного четырёхугольника: диагонали четырёхугольника ($AC$ и $BD$) и прямые, соединяющие точки касания на противоположных сторонах ($KM$ и $LN$), пересекаются в одной точке.

Так как при параллельном проектировании свойство пересечения прямых в одной точке сохраняется, то изображения этих прямых — $A_1C_1$, $B_1D_1$, $K_1M_1$ и $L_1N_1$ — также должны пересекаться в одной точке.

Построение:

1. Проводим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ в четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$. Находим точку их пересечения $P_1$.
2. Точка $K_1$ нами уже построена. Согласно свойству, прямая $K_1M_1$ должна пройти через точку $P_1$.
3. Проводим прямую через точки $K_1$ и $P_1$.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной $C_1D_1$ и будет искомой точкой $M_1$.

Таким образом, мы построили изображения всех четырёх точек касания.

Ответ: Искомые точки $K_1, L_1, M_1, N_1$ строятся следующим образом:
1. $K_1$ — середина отрезка $A_1B_1$.
2. $L_1$ и $N_1$ — точки пересечения прямой, проходящей через $O_1$ параллельно $A_1B_1$, со сторонами $B_1C_1$ и $A_1D_1$ соответственно.
3. $M_1$ — точка пересечения стороны $C_1D_1$ с прямой, проходящей через точку $K_1$ и точку пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$.