Номер 8.24, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.24. Точки $A_1$, $B_1$ и $D_1$ (рис. 8.38) являются изображениями соответственно вершин $A$, $B$ и $D$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Постройте изображение этого шестиугольника.

$B_1$

$A_1$

$D_1$

Рис. 8.38

Для построения изображения правильного шестиугольника $ABCDEF$, имея изображения его вершин $A_1, B_1, D_1$, мы воспользуемся свойствами правильного шестиугольника, которые сохраняются при параллельном проектировании (т.е. при построении изображения).

Ключевые свойства:

• Центр шестиугольника $O$ является серединой его больших диагоналей, в частности, диагонали $AD$. Это свойство сохраняется, поэтому изображение центра $O_1$ будет серединой отрезка $A_1D_1$.
• Шестиугольник является центрально-симметричной фигурой относительно своего центра. Это значит, что вершины попарно симметричны относительно центра: $A$ и $D$, $B$ и $E$, $C$ и $F$. Это свойство также сохраняется для изображения.
• Четырехугольник $AOBC$, где $O$ — центр, является параллелограммом (в случае правильного шестиугольника — ромбом). Следовательно, $\vec{AO} = \vec{BC}$. Для изображения это свойство также будет верным: $\vec{A_1O_1} = \vec{B_1C_1}$.

На основе этих свойств, построение изображения шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ выполняется в несколько шагов.

Построение

1. Нахождение изображения центра $O_1$.

   Соединяем точки $A_1$ и $D_1$ отрезком. Находим середину этого отрезка и обозначаем ее $O_1$. Точка $O_1$ — это изображение центра исходного правильного шестиугольника.

2. Построение вершины $C_1$.

   Из свойства, что $A_1O_1C_1B_1$ является параллелограммом, следует векторное равенство $\vec{A_1O_1} = \vec{B_1C_1}$. Чтобы найти точку $C_1$, нужно от точки $B_1$ отложить вектор, равный вектору $\vec{A_1O_1}$. Для этого проводим через точку $B_1$ прямую, параллельную $A_1O_1$, и откладываем на ней от точки $B_1$ отрезок $B_1C_1$, равный по длине и сонаправленный с отрезком $A_1O_1$.

3. Построение вершин $E_1$ и $F_1$.

   Используем свойство центральной симметрии. Точка $O_1$ является серединой диагоналей $B_1E_1$ и $C_1F_1$.

   • Для нахождения $E_1$, проводим прямую через $B_1$ и $O_1$. На этой прямой за точкой $O_1$ откладываем отрезок $O_1E_1$, равный отрезку $B_1O_1$. Таким образом, $E_1$ — точка, симметричная $B_1$ относительно $O_1$.
   • Аналогично, для нахождения $F_1$, проводим прямую через $C_1$ и $O_1$. На этой прямой за точкой $O_1$ откладываем отрезок $O_1F_1$, равный отрезку $C_1O_1$. Таким образом, $F_1$ — точка, симметричная $C_1$ относительно $O_1$.
4. Завершение построения.

   Теперь все шесть вершин ($A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$) известны. Последовательно соединяем их отрезками, чтобы получить искомое изображение шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ответ: Изображение шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ построено в соответствии с описанным алгоритмом.