Номер 8.17, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.17. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение квадрата со стороной $AB$, лежащего в плоскости $ABC$ и расположенного вне треугольника $ABC$.

Для построения изображения квадрата со стороной $AB$ необходимо проанализировать свойства исходной геометрической фигуры (оригинала) и учесть, какие из этих свойств сохраняются при параллельном проектировании.

Анализ и обоснование построения

Пусть $ABC$ — данный прямоугольный равнобедренный треугольник, в котором $AB$ — гипотенуза. Это означает, что угол $\angle C = 90^\circ$ и катеты $AC = BC$. Пусть $ABDE$ — это квадрат, построенный на гипотенузе $AB$ и расположенный вне треугольника $ABC$.

1. Проведем в треугольнике $ABC$ медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$, то медиана $CM$ является также и его высотой, а значит, $CM \perp AB$.
2. В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CM = \frac{1}{2}AB$, или, что то же самое, $AB = 2CM$.
3. По определению квадрата, его стороны $AD$ и $BE$ перпендикулярны стороне $AB$. Таким образом, в плоскости фигуры отрезки $AD$, $BE$ и $CM$ параллельны друг другу: $AD \parallel BE \parallel CM$.
4. Длины сторон квадрата равны длине гипотенузы $AB$. Учитывая пункт 2, имеем: $AD = BE = AB = 2CM$.

При параллельном проектировании, в результате которого был получен треугольник $A_1B_1C_1$, сохраняются следующие важные свойства:

• Параллельность прямых. Так как в оригинале $AD \parallel CM$, то их изображения $A_1D_1$ и $C_1M_1$ также будут параллельны. Аналогично $B_1E_1 \parallel C_1M_1$.
• Сохранение середины отрезка. Изображение середины отрезка является серединой изображения отрезка. Если $M_1$ — середина отрезка $A_1B_1$, то $M_1$ является изображением точки $M$.
• Сохранение отношения длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Поскольку отрезки $AD$ и $CM$ параллельны и $AD = 2CM$, то для их изображений будет выполняться аналогичное соотношение длин: $|A_1D_1| = 2|C_1M_1|$. Точно так же $|B_1E_1| = 2|C_1M_1|$.

Эти свойства полностью определяют алгоритм построения изображения квадрата.

Построение

1. Найти точку $M_1$ — середину отрезка $A_1B_1$.
2. Соединить точки $C_1$ и $M_1$, получив отрезок $C_1M_1$ — изображение медианы $CM$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $C_1M_1$.
4. На этой прямой от точки $A_1$ отложить отрезок $A_1D_1$, длина которого в два раза больше длины отрезка $C_1M_1$ (т.е. $|A_1D_1| = 2|C_1M_1|$). Точку $D_1$ следует расположить так, чтобы она находилась по другую сторону от прямой $A_1B_1$ относительно точки $C_1$, так как по условию квадрат лежит вне треугольника.
5. Аналогично, через точку $B_1$ провести прямую, параллельную $C_1M_1$, и отложить на ней отрезок $B_1E_1$ такой же длины и в том же направлении, что и $A_1D_1$.
6. Соединить точки $D_1$ и $E_1$.

Построенный четырехугольник $A_1B_1E_1D_1$ является параллелограммом, так как отрезки $A_1D_1$ и $B_1E_1$ параллельны и равны. Этот параллелограмм и есть искомое изображение квадрата $ABDE$.

Ответ: Искомое изображение квадрата — это параллелограмм $A_1B_1E_1D_1$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом.