Номер 8.12, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.12. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ — изображение треугольника $ABC$ (рис. 8.30), отрезки $A_1 D_1$ и $C_1 E_1$ — изображения соответственно высот $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$. Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рис. 8.30

Центр описанной окружности треугольника (обозначим его $O$) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Нам нужно построить изображение этой точки, $O_1$, на основе изображения треугольника $A_1B_1C_1$ и изображений его высот $A_1D_1$ и $C_1E_1$.

Обоснование построения

Рассмотрим серединный перпендикуляр к стороне $BC$ исходного треугольника $ABC$. По определению, он проходит через середину $M_a$ стороны $BC$ и перпендикулярен ей. Высота $AD$ также перпендикулярна стороне $BC$. Поскольку две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, то серединный перпендикуляр к стороне $BC$ параллелен высоте $AD$.

Аналогично, серединный перпендикуляр к стороне $AB$ параллелен высоте $CE$.

Параллельное проектирование, при котором получается изображение, обладает важными свойствами: оно сохраняет параллельность прямых, а также середины отрезков (середина отрезка проецируется в середину его изображения).

Следовательно, изображение серединного перпендикуляра к стороне $BC$ — это прямая, которая проходит через изображение середины $M_a$ (то есть через середину $M_{a1}$ отрезка $B_1C_1$) и параллельна изображению высоты $AD$ (то есть прямой $A_1D_1$). Подобным образом, изображение серединного перпендикуляра к стороне $AB$ проходит через середину $M_{c1}$ отрезка $A_1B_1$ и параллельно прямой $C_1E_1$.

Так как центр описанной окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров, его изображение $O_1$ будет точкой пересечения изображений этих перпендикуляров.

Порядок построения

1. Найти точку $M_{a1}$ — середину отрезка $B_1C_1$.
2. Через точку $M_{a1}$ провести прямую $l_1$, параллельную прямой $A_1D_1$.
3. Найти точку $M_{c1}$ — середину отрезка $A_1B_1$.
4. Через точку $M_{c1}$ провести прямую $l_2$, параллельную прямой $C_1E_1$.
5. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ и будет искомым изображением $O_1$ центра описанной окружности треугольника $ABC$.

Ответ: Искомое изображение центра описанной окружности является точкой пересечения прямой, проходящей через середину стороны $B_1C_1$ параллельно прямой $A_1D_1$, и прямой, проходящей через середину стороны $A_1B_1$ параллельно прямой $C_1E_1$.