Номер 8.9, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.9. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$. Постройте изображение биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, если $AB : BC = 1 : 2$.

Пусть в исходном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это свойство выражается формулой: $${AL \over LC} = {AB \over BC}$$

Из условия задачи известно, что $AB : BC = 1 : 2$. Подставив это отношение в формулу, получаем: $${AL \over LC} = {1 \over 2}$$ Это означает, что основание биссектрисы, точка $L$, делит сторону $AC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением (параллельной проекцией) треугольника $ABC$. Одно из ключевых свойств параллельного проектирования заключается в том, что оно сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Поскольку точки $A, L, C$ лежат на одной прямой, их изображения $A_1, L_1, C_1$ также будут лежать на одной прямой, и отношение, в котором точка $L_1$ (изображение точки $L$) делит отрезок $A_1C_1$, будет таким же. То есть: $${A_1L_1 \over L_1C_1} = {AL \over LC} = {1 \over 2}$$

Таким образом, задача построения изображения биссектрисы $BL$ сводится к построению её изображения $B_1L_1$. Для этого необходимо сначала найти на отрезке $A_1C_1$ точку $L_1$, которая делит его в отношении $1:2$, а затем соединить её с точкой $B_1$. Построение выполняется следующим образом:

1. Из вершины $A_1$ проводим произвольный луч, не лежащий на прямой $A_1C_1$.
2. На этом луче откладываем от точки $A_1$ три ($1+2=3$) равных между собой отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков $K_1, K_2, K_3$ так, что $A_1K_1 = K_1K_2 = K_2K_3$.
3. Соединяем точку $K_3$ (конец третьего отрезка) с точкой $C_1$.
4. Через точку $K_1$ (конец первого отрезка) проводим прямую, параллельную прямой $K_3C_1$.
5. Точка пересечения этой параллельной прямой со стороной $A_1C_1$ и будет искомой точкой $L_1$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), эта точка делит отрезок $A_1C_1$ в заданном отношении $1:2$.
6. Соединяем отрезком точки $B_1$ и $L_1$. Полученный отрезок $B_1L_1$ является искомым изображением биссектрисы.

Ответ: Изображением биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, является отрезок $B_1L_1$, где $L_1$ — точка на отрезке $A_1C_1$, делящая его в отношении $A_1L_1 : L_1C_1 = 1:2$.