Номер 8.8, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.8. Эллипс с центром $O_1$ и отрезок $A_1B_1$ являются изображением окружности с центром $O$ и её хорды $AB$ (рис. 8.29). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде $AB$.

Рис. 8.29

Пусть эллипс с центром $O_1$ и отрезок $A_1B_1$ являются параллельной проекцией окружности с центром $O$ и ее хорды $AB$. Требуется построить изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде $AB$.

Решение:

В окружности диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через середину этой хорды. Это свойство является ключевым для решения задачи. Пусть $M$ — середина хорды $AB$ в исходной окружности, а $CD$ — диаметр, перпендикулярный хорде $AB$. Тогда диаметр $CD$ проходит через точку $M$.

При параллельном проецировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Также, прямая проецируется в прямую.

Таким образом, изображение диаметра $CD$ должно проходить через изображение центра окружности $O_1$ и через изображение середины хорды $M_1$. Изображение середины хорды $AB$ есть середина отрезка $A_1B_1$.

Следовательно, для построения изображения искомого диаметра необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1B_1$, который является изображением хорды $AB$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$) или измерив его длину и отложив половину.
2. Провести прямую через центр эллипса $O_1$ (изображение центра окружности $O$) и найденную точку $M_1$ (изображение середины хорды $M$).
3. Отрезок этой прямой, концы которого лежат на эллипсе, и будет являться искомым изображением диаметра. Обозначим концы этого диаметра эллипса как $C_1$ и $D_1$.

На рисунке показан ход построения:
1. Находится точка $M_1$ — середина хорды $A_1B_1$.
2. Проводится прямая через точки $O_1$ и $M_1$.
3. Отрезок $C_1D_1$, являющийся диаметром эллипса на построенной прямой, является искомым изображением диаметра.

Ответ: Изображением диаметра, перпендикулярного хорде $AB$, является диаметр эллипса $C_1D_1$, проходящий через центр эллипса $O_1$ и середину $M_1$ хорды $A_1B_1$.