Номер 8.10, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.10. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $AB : AC = 5 : 4$.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$, а $\triangle A_1B_1C_1$ — его изображение. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис треугольника. Обозначим инцентр буквой $I$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM$, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой угла $\angle B$. Следовательно, инцентр $I$ лежит на медиане $BM$.

При параллельном проецировании середина отрезка переходит в середину его изображения. Поэтому изображение медианы $BM$ есть медиана $B_1M_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, где $M_1$ — середина стороны $A_1C_1$. Изображение инцентра $I_1$ будет лежать на отрезке $B_1M_1$.

Теперь найдем, в каком отношении инцентр $I$ делит медиану $BM$. Рассмотрим $\triangle ABM$. В этом треугольнике $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAM$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону $BM$ в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:

$\frac{BI}{IM} = \frac{AB}{AM}$

По условию $AB : AC = 5 : 4$. Пусть $AB = 5x$, тогда $AC = 4x$. Поскольку $M$ — середина $AC$, то $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

Подставим длины сторон в пропорцию:

$\frac{BI}{IM} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$

Таким образом, инцентр $I$ делит медиану $BM$ в отношении $5:2$, считая от вершины $B$.

При параллельном проецировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, изображение инцентра $I_1$ делит изображение медианы $B_1M_1$ в том же отношении:

$\frac{B_1I_1}{I_1M_1} = \frac{5}{2}$

Отсюда следует алгоритм построения:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1C_1$.
2. Провести отрезок $B_1M_1$ — изображение медианы $BM$.
3. Разделить отрезок $B_1M_1$ в отношении $5:2$, считая от точки $B_1$. Для этого можно использовать теорему Фалеса:
   • Провести из точки $B_1$ произвольный луч, не лежащий на прямой $B_1M_1$.
   • Отложить на этом луче от точки $B_1$ семь ($5+2=7$) равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы отрезков как $P_1, P_2, \dots, P_7$.
   • Соединить точку $P_7$ с точкой $M_1$.
   • Провести через точку $P_5$ прямую, параллельную отрезку $P_7M_1$.
   • Точка пересечения этой прямой с отрезком $B_1M_1$ и будет искомой точкой $I_1$.

Ответ: Искомая точка $I_1$ (изображение центра вписанной окружности) — это точка на медиане $B_1M_1$ треугольника $A_1B_1C_1$, которая делит эту медиану в отношении $B_1I_1 : I_1M_1 = 5:2$. Построение точки $I_1$ описано выше.