Номер 8.15, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.15. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение ромба $ABCD$, в котором $\angle A = 60^{\circ}$. Постройте изображение высоты ромба, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$ ромба.

Для построения изображения высоты ромба, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, необходимо сначала проанализировать свойства исходной фигуры (ромба), а затем применить свойства параллельного проектирования для выполнения построения на его изображении (параллелограмме).

Пусть дан ромб $ABCD$, в котором $\angle A = 60^\circ$. В ромбе все стороны равны ($AB = BC = CD = DA$), а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Следовательно, углы ромба: $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle B = \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Искомая высота $AH$ проводится из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Так как $\angle B = 120^\circ$ является тупым, основание высоты, точка $H$, будет лежать на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$.

Чтобы найти точное положение точки $H$, воспользуемся вспомогательным построением. Проведем высоту $DK$ из вершины $D$ на ту же прямую $BC$. Поскольку стороны ромба $AD$ и $BC$ параллельны, высоты $AH$ и $DK$ будут параллельны и равны по длине. Это означает, что четырехугольник $ADKH$ — параллелограмм, и, следовательно, выполняется векторное равенство $\vec{AH} = \vec{DK}$.

Теперь определим положение точки $K$ на прямой $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DKC$. В нем $\angle DKC = 90^\circ$, а $\angle C = 60^\circ$ (как угол ромба). Гипотенуза $DC$ является стороной ромба. Катет $CK$, прилежащий к углу $\angle C$, можно найти по формуле:

$CK = DC \cdot \cos(60^\circ) = DC \cdot \frac{1}{2}$

Так как в ромбе $DC = BC$, получаем $CK = \frac{1}{2}BC$. Поскольку $\angle C = 60^\circ$ — острый, точка $K$ лежит на отрезке $BC$. Таким образом, точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Параллельное проектирование, которое переводит ромб $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, сохраняет следующие свойства:

• Середина отрезка проецируется в середину его изображения.
• Векторное равенство сохраняется.

Исходя из этого, можно сформулировать алгоритм построения изображения высоты $A_1H_1$ на данном параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$.

1. Найти середину стороны $B_1C_1$. Обозначим эту точку $K_1$. Точка $K_1$ является изображением точки $K$.
2. Так как в исходной фигуре $\vec{AH} = \vec{DK}$, то в изображении будет выполняться равенство $\vec{A_1H_1} = \vec{D_1K_1}$. Это означает, что четырехугольник $A_1D_1K_1H_1$ также является параллелограммом. Для построения точки $H_1$ необходимо отложить от точки $A_1$ вектор, равный вектору $\vec{D_1K_1}$.
3. Практически это делается так:
   • Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную отрезку $D_1K_1$.
   • Через точку $K_1$ провести прямую, параллельную стороне $A_1D_1$.
   • Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $H_1$.
4. Соединить точки $A_1$ и $H_1$. Отрезок $A_1H_1$ — это искомое изображение высоты.

Ниже представлена схема построения:

На рисунке показана последовательность: 1. Находим $K_1$ — середину $B_1C_1$. 2. Проводим прямую через $A_1$ параллельно $D_1K_1$. 3. Проводим прямую через $K_1$ параллельно $A_1D_1$. 4. На их пересечении получаем точку $H_1$. 5. Отрезок $A_1H_1$ — искомое изображение высоты.

Ответ: Изображением высоты ромба, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$, является отрезок $A_1H_1$, где точка $H_1$ строится как четвертая вершина параллелограмма $A_1D_1K_1H_1$, в котором $K_1$ является серединой стороны $B_1C_1$ исходного параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.