Номер 8.18, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.18. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 8.32), отрезок $A_1B_1$ — изображение диаметра $AB$ данной окружности. Постройте изображение диаметра, перпендикулярного диаметру $AB$.

Рис. 8.32

Поскольку эллипс является изображением окружности при параллельном проецировании, то перпендикулярные диаметры окружности изображаются в виде так называемых сопряженных диаметров эллипса. По определению, диаметр эллипса, сопряженный данному диаметру, проходит через середины всех хорд, параллельных данному диаметру. Это свойство и лежит в основе построения.

Построение:

1. Проведем произвольную хорду $M_1N_1$, параллельную данному диаметру $A_1B_1$. Для этого выберем на эллипсе произвольную точку $M_1$, не совпадающую с $A_1$ или $B_1$, и проведем через нее прямую, параллельную $A_1B_1$. Эта прямая пересечет эллипс во второй точке $N_1$.
2. Найдем середину $K_1$ хорды $M_1N_1$. Это можно сделать, например, с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку $M_1N_1$.
3. Проведем прямую через центр эллипса $O_1$ и точку $K_1$.
4. Точки пересечения построенной прямой с эллипсом обозначим как $C_1$ и $D_1$.

Полученный отрезок $C_1D_1$ и является искомым изображением диаметра, перпендикулярного диаметру $AB$.

Обоснование:

При параллельном проецировании сохраняются параллельность прямых и свойство точки быть серединой отрезка.

• Поскольку хорда $M_1N_1$ построена параллельно диаметру $A_1B_1$ ($M_1N_1 \parallel A_1B_1$), то их прообразы в исходной окружности — хорда $MN$ и диаметр $AB$ — также параллельны ($MN \parallel AB$).
• Точка $K_1$ является серединой хорды $M_1N_1$, следовательно, ее прообраз $K$ является серединой хорды $MN$ в окружности.
• В окружности диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Значит, диаметр, содержащий отрезок $OK$, перпендикулярен хорде $MN$ ($OK \perp MN$).
• Так как $MN \parallel AB$ и прямая, содержащая диаметр $CD$, перпендикулярна $MN$, то она перпендикулярна и $AB$. То есть, диаметр $CD$ (прообраз $C_1D_1$) перпендикулярен диаметру $AB$.
• Следовательно, изображение диаметра $CD$, которым является отрезок $C_1D_1$, проходящий через точки $O_1$ и $K_1$, и есть искомое изображение.

Ответ: Отрезок $C_1D_1$, построенный по вышеописанному алгоритму, является изображением диаметра, перпендикулярного диаметру $AB$.