Номер 8.14, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.14. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение ромба $ABCD$. Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей ромба на сторону $AD$, если $\angle A = 60^\circ$.

Анализ:
Пусть $ABCD$ — исходный ромб, а параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — его изображение при параллельном проецировании. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ ромба, а $OH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AD$ ($H \in AD$). Нам необходимо построить изображение отрезка $OH$, то есть отрезок $O_1H_1$.
Ключевым свойством параллельного проецирования является сохранение отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это означает, что если точка $H$ делит отрезок $AD$ в отношении $AH:HD = k$, то ее изображение $H_1$ будет делить отрезок $A_1D_1$ в том же отношении: $A_1H_1:H_1D_1 = k$. Наша задача — найти это отношение.
Рассмотрим свойства исходного ромба $ABCD$. По условию, $\angle A = 60^\circ$. Так как у ромба все стороны равны ($AB = AD$), то треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с углом $60^\circ$ при вершине, а значит, он равносторонний.
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим $\triangle AOD$. В нем $\angle OAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Так как $\triangle ABD$ равносторонний, то $\angle ADO = \angle ADB = 60^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHD$ (так как $OH \perp AD$ по построению). В нем $\angle ODH = 60^\circ$. Пусть сторона ромба равна $a$, то есть $AD = a$. В равностороннем $\triangle ABD$ диагональ $BD = a$. Точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам, следовательно $OD = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}$.
Из $\triangle OHD$ находим катет $HD$: $HD = OD \cdot \cos(\angle ODH) = \frac{a}{2} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{4}$.
Таким образом, точка $H$ делит сторону $AD$ так, что $HD = \frac{1}{4}AD$. Отсюда следует, что $AH = AD - HD = a - \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}$.
Следовательно, точка $H$ делит сторону $AD$ в отношении $AH : HD = \frac{3a}{4} : \frac{a}{4} = 3:1$.
Это отношение сохранится и при проецировании. Значит, наша задача сводится к построению точки $H_1$ на отрезке $A_1D_1$, которая делит его в отношении $A_1H_1 : H_1D_1 = 3:1$, и соединению этой точки с точкой $O_1$ (изображением центра ромба).

Построение:
1. Находим изображение $O_1$ центра ромба. Для этого в параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ проводим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Точка их пересечения $O_1$ и есть искомое изображение, так как проецирование сохраняет свойство "быть серединой отрезка".
2. Строим точку $H_1$ на стороне $A_1D_1$, делящую ее в отношении $A_1H_1 : H_1D_1 = 3:1$. Для этого:
а) Из точки $A_1$ проводим произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $A_1D_1$.
б) На луче $l$ откладываем от точки $A_1$ четыре равных друг другу отрезка произвольной длины: $A_1P_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4$.
в) Соединяем точку $P_4$ с точкой $D_1$.
г) Через точку $P_3$ (третью от $A_1$) проводим прямую, параллельную отрезку $P_4D_1$. По теореме Фалеса, эта прямая пересечет отрезок $A_1D_1$ в точке $H_1$, такой, что $A_1H_1 : H_1D_1 = A_1P_3 : P_3P_4 = 3:1$.
3. Соединяем точки $O_1$ и $H_1$.

Ответ: Отрезок $O_1H_1$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым изображением перпендикуляра.