Номер 8.19, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.19. Эллипс с центром $O_1$ и треугольник $A_1B_1C_1$ являются изображениями окружности с центром $O$ и вписанного в нее треугольника $ABC$ (рис. 8.33). Постройте изображение высоты треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$.

Рис. 8.33

Для построения изображения высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, необходимо использовать свойство, которое сохраняется при параллельном проецировании. В общем случае перпендикулярность прямых не сохраняется, поэтому изображение высоты A₁H₁ не будет перпендикулярно стороне B₁C₁.

Ключевая идея состоит в том, чтобы найти в исходной фигуре прямую, параллельную высоте, построение изображения которой не представляет труда. Рассмотрим прообраз: треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. Пусть AH — его высота из вершины A, тогда по определению $AH \perp BC$.

Рассмотрим также отрезок OM, где M — середина стороны BC. В треугольнике OBC стороны OB и OC равны как радиусы окружности, значит, он является равнобедренным. Его медиана OM является также и высотой, следовательно, $OM \perp BC$.

Поскольку прямые AH и OM перпендикулярны одной и той же прямой BC, они параллельны друг другу: $AH \parallel OM$.

Это свойство параллельности сохраняется при проецировании. Кроме того, середина отрезка проецируется в середину его изображения. Таким образом, искомое изображение высоты A₁H₁ будет параллельно отрезку O₁M₁, где O₁ — данный центр эллипса, а M₁ — середина стороны B₁C₁.

Отсюда вытекает следующий алгоритм построения:

1. Найти точку M₁ — середину отрезка B₁C₁.
2. Провести отрезок O₁M₁, соединяющий центр эллипса O₁ с точкой M₁.
3. Через вершину A₁ провести прямую, параллельную отрезку O₁M₁.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной B₁C₁ (или её продолжением) есть точка H₁ — изображение основания высоты.
5. Отрезок A₁H₁ является искомым изображением высоты.

Ответ: Изображением высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, является отрезок A₁H₁, где H₁ – точка на прямой B₁C₁, причём отрезок A₁H₁ параллелен отрезку O₁M₁, где O₁ – центр эллипса, а M₁ – середина стороны B₁C₁.