Номер 8.21, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.21. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$, точка $A_1$ — изображение точки $A$ окружности (рис. 8.35). Постройте изображение касательной к данной окружности, проходящей через точку $A$.

Рис. 8.35

Для построения изображения касательной к окружности в точке A воспользуемся свойствами параллельного проецирования. Основное свойство касательной к окружности — её перпендикулярность радиусу, проведенному в точку касания. Однако при параллельном проецировании углы, как правило, не сохраняются, поэтому свойство перпендикулярности использовать напрямую нельзя.

Вместо этого используем свойство, которое инвариантно относительно параллельного проецирования. В окружности касательная в точке A параллельна диаметру, который сопряжен (то есть перпендикулярен) диаметру, проходящему через точку A. При параллельном проецировании:

• Окружность переходит в эллипс.
• Пара сопряженных (взаимно перпендикулярных) диаметров окружности переходит в пару сопряженных диаметров эллипса.
• Свойство параллельности прямых сохраняется.

Следовательно, изображение касательной в точке $A_1$ (то есть касательная к эллипсу) будет параллельно диаметру эллипса, сопряженному диаметру, проходящему через точку $A_1$. Задача сводится к построению этого сопряженного диаметра.

По определению, диаметр, сопряженный некоторому диаметру эллипса, является геометрическим местом середин хорд, параллельных этому диаметру. Это свойство и лежит в основе построения.

Построение

1. Проведем прямую через центр эллипса $O_1$ и данную точку $A_1$. Эта прямая содержит диаметр эллипса, который является изображением диаметра исходной окружности.
2. Построим произвольную хорду эллипса $B_1C_1$, параллельную прямой $O_1A_1$.
3. Найдем середину $M_1$ хорды $B_1C_1$ (например, с помощью циркуля и линейки).
4. Проведем прямую через центр $O_1$ и точку $M_1$. Эта прямая содержит диаметр, сопряженный диаметру, проходящему через точку $A_1$.
5. Через точку $A_1$ проведем прямую, параллельную прямой $O_1M_1$.

Построенная прямая и является искомым изображением касательной к окружности, проходящей через точку A.

Ответ: Искомое изображение касательной — это прямая, проходящая через точку $A_1$ параллельно диаметру эллипса, который сопряжен диаметру, проходящему через точку $A_1$. Алгоритм построения описан выше.