Номер 8.22, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.22. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются изображениями соответственно вершин $A$, $B$ и $C$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ (рис. 8.36). Постройте изображение данного шестиугольника.

$B_1$ • • $C_1$

$A_1$ •

Рис. 8.36

Для построения изображения правильного шестиугольника $ABCDEF$ по заданным изображениям его вершин $A_1, B_1, C_1$ необходимо использовать свойства, которые сохраняются при параллельном проектировании. К таким свойствам относятся:

• Параллельность прямых (образы параллельных прямых параллельны).
• Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.
• Середина отрезка проектируется в середину проекции отрезка.

Центр симметрии фигуры проектируется в центр симметрии её проекции. Правильный шестиугольник является центрально-симметричной фигурой, и его центр $O$ — это точка пересечения больших диагоналей, которая также является их серединой.

Построение:

1. Нахождение изображения центра шестиугольника $O_1$.
   В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ с центром в точке $O$ радиус-векторы вершин и стороны связаны определёнными соотношениями. Например, четырёхугольник $ABCO$ является ромбом, из чего следует векторное равенство $\vec{AO} = \vec{BC}$.
   Поскольку при параллельном проектировании векторное равенство сохраняется, для изображений точек будет выполняться аналогичное соотношение: $\vec{A_1O_1} = \vec{B_1C_1}$.
   Чтобы построить точку $O_1$, нужно отложить от точки $A_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1C_1}$. Для этого через точку $A_1$ проведём прямую, параллельную отрезку $B_1C_1$, и на ней отложим отрезок $A_1O_1$, равный по длине отрезку $B_1C_1$ и сонаправленный с вектором $\vec{B_1C_1}$.
2. Нахождение изображений остальных вершин $D_1, E_1, F_1$.
   Центр $O$ правильного шестиугольника является серединой его больших диагоналей $AD, BE, CF$. Это свойство (середина отрезка) сохраняется при проектировании. Следовательно, точка $O_1$ является серединой отрезков $A_1D_1, B_1E_1, C_1F_1$.
   
   • Чтобы найти точку $D_1$, строим точку, симметричную $A_1$ относительно $O_1$. Для этого проводим луч $A_1O_1$ и откладываем на нём за точкой $O_1$ отрезок $O_1D_1 = A_1O_1$.
   • Аналогично, точка $E_1$ является симметричной точке $B_1$ относительно центра $O_1$.
   • Точка $F_1$ является симметричной точке $C_1$ относительно центра $O_1$.
3. Завершение построения.
   Последовательно соединяем отрезками полученные вершины в порядке $A_1 \rightarrow B_1 \rightarrow C_1 \rightarrow D_1 \rightarrow E_1 \rightarrow F_1 \rightarrow A_1$.

Ответ: Полученный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является искомым изображением правильного шестиугольника.