Номер 8.29, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.29. Параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 8.40) является изображением квадрата $ABCD$, точка $K_1$ — изображение точки $K$, принадлежащей стороне $CD$. Постройте изображение точки $F$, принадлежащей стороне $AD$, такой, что $BF = AK$.

Рис. 8.40

Анализ

По условию, параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением (параллельной проекцией) квадрата $ABCD$. Точка $K_1$ на стороне $C_1D_1$ — изображение точки $K$ на стороне $CD$. Требуется построить изображение $F_1$ точки $F$, принадлежащей стороне $AD$, при условии, что в квадрате $ABCD$ выполняется равенство $BF = AK$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Так как углы квадрата прямые, мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам $\triangle ABF$ (с прямым углом при вершине $A$) и $\triangle DAK$ (с прямым углом при вершине $D$).
Из $\triangle ABF$ получаем: $BF^2 = AB^2 + AF^2$.
Из $\triangle DAK$ получаем: $AK^2 = AD^2 + DK^2$.

По условию $BF = AK$, следовательно, $BF^2 = AK^2$. Приравнивая правые части выражений, получаем:
$AB^2 + AF^2 = AD^2 + DK^2$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его стороны равны: $AB = AD$. Учитывая это, равенство упрощается до:
$AF^2 = DK^2$.
Так как $AF$ и $DK$ — длины отрезков, они неотрицательны, поэтому $AF = DK$.

Это равенство можно переписать иначе. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $AD$, а точка $K$ — на отрезке $CD$, то $AF = AD - DF$ и $DK = DC - CK$. Подставив это в $AF = DK$, получим:
$AD - DF = DC - CK$.
Так как $AD = DC$, приходим к равенству $DF = CK$.

Параллельная проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Так как $DA=CD$ (стороны квадрата), из равенства $DF = CK$ следует равенство отношений:
$\frac{DF}{DA} = \frac{CK}{CD}$.

Это отношение сохранится и для изображения:
$\frac{D_1F_1}{D_1A_1} = \frac{C_1K_1}{C_1D_1}$.
Таким образом, задача сводится к построению на отрезке $A_1D_1$ такой точки $F_1$, которая удовлетворяет данному соотношению.

Построение

1. Проведем диагональ $A_1C_1$ параллелограмма.
2. Через точку $K_1$ проведем прямую, параллельную стороне $A_1D_1$. Точку пересечения этой прямой с диагональю $A_1C_1$ обозначим $P_1$.
3. Через точку $P_1$ проведем прямую, параллельную стороне $D_1C_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1D_1$ и будет искомой точкой $F_1$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1D_1C_1$.
По построению, прямая $K_1P_1$ параллельна стороне $A_1D_1$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), примененной к углу $D_1C_1A_1$ и параллельным прямым $K_1P_1$ и $A_1D_1$, имеем:
$\frac{C_1K_1}{C_1D_1} = \frac{C_1P_1}{C_1A_1}$.

Далее, по построению, прямая $P_1F_1$ параллельна стороне $D_1C_1$. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу $D_1A_1C_1$ и параллельным прямым $P_1F_1$ и $D_1C_1$, имеем:
$\frac{D_1F_1}{D_1A_1} = \frac{C_1P_1}{C_1A_1}$.

Из двух полученных равенств следует, что:
$\frac{D_1F_1}{D_1A_1} = \frac{C_1K_1}{C_1D_1}$.
Это и есть соотношение, которое является изображением исходного условия $BF = AK$. Следовательно, построенная точка $F_1$ является искомым изображением точки $F$.

Ответ: Искомая точка $F_1$ строится следующим образом: 1) провести диагональ $A_1C_1$; 2) через точку $K_1$ провести прямую, параллельную $A_1D_1$, до пересечения с диагональю $A_1C_1$ в точке $P_1$; 3) через точку $P_1$ провести прямую, параллельную $D_1C_1$, до пересечения со стороной $A_1D_1$. Точка пересечения и будет искомой точкой $F_1$.