Страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.27. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$.

Постройте изображение квадрата:

1) вписанного в данную окружность;

2) описанного около данной окружности.

В основе решения лежит свойство параллельного проецирования: при параллельном проецировании окружность изображается в виде эллипса, а пара перпендикулярных диаметров окружности изображается в виде пары так называемых сопряженных диаметров эллипса. Центр окружности $O$ при этом проецируется в центр эллипса $O_1$.

Сопряженные диаметры эллипса — это пара диаметров, такая что касательные к эллипсу в концах одного диаметра параллельны другому диаметру. Для построения удобно использовать большую и малую оси эллипса, так как они являются частным случаем сопряженных диаметров и при этом взаимно перпендикулярны, что упрощает построение.

Диагонали квадрата, вписанного в окружность, являются ее взаимно перпендикулярными диаметрами. Вершины квадрата лежат на окружности. Следовательно, изображением такого квадрата будет параллелограмм, диагонали которого — сопряженные диаметры эллипса, а вершины лежат на самом эллипсе.

Порядок построения:

1. В данном эллипсе с центром $O_1$ строим два любых сопряженных диаметра. Проще всего построить большую ось $A_1C_1$ и малую ось $B_1D_1$ эллипса.
2. Последовательно соединяем концы построенных диаметров: точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

Полученный параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является искомым изображением квадрата, вписанного в окружность.

Ответ: Изображением вписанного в окружность квадрата является параллелограмм, вершины которого являются концами двух сопряженных диаметров эллипса-изображения.

Стороны квадрата, описанного около окружности, касаются ее в точках, являющихся концами двух взаимно перпендикулярных диаметров. Каждая сторона квадрата параллельна одному из этих диаметров. При проецировании это свойство сохраняется: изображение стороны квадрата будет касаться эллипса в конце одного из сопряженных диаметров и будет параллельно другому сопряженному диаметру.

Порядок построения:

1. В данном эллипсе с центром $O_1$ строим два сопряженных диаметра, например, большую ось $A_1C_1$ и малую ось $B_1D_1$.
2. Через концы диаметра $A_1C_1$ проводим прямые, параллельные диаметру $B_1D_1$.
3. Через концы диаметра $B_1D_1$ проводим прямые, параллельные диаметру $A_1C_1$.

Эти четыре прямые, касаясь эллипса в точках $A_1, C_1, B_1, D_1$, образуют параллелограмм. Этот параллелограмм и является искомым изображением квадрата, описанного около окружности.

Ответ: Изображением описанного около окружности квадрата является параллелограмм, стороны которого касаются эллипса в концах двух сопряженных диаметров, причем каждая сторона параллельна тому диаметру, в концах которого она не касается эллипса.

8.28. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ (рис. 8.39) является изображением квадрата $ABCD$, точка $M_1$ — изображением точки $M$, принадлежащей стороне $AB$. Постройте изображение точки $N$, принадлежащей стороне $BC$, такой, что $AN \perp DM$.

Рис. 8.39

Анализ

По условию, параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является параллельной проекцией квадрата $ABCD$. Построение требуется выполнить на проекции, в то время как условие перпендикулярности $AN \perp DM$ дано для оригинала (квадрата).

Поскольку параллельная проекция не сохраняет величины углов, мы не можем просто построить перпендикулярные прямые на изображении. Однако параллельная проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Следовательно, нам необходимо выразить условие $AN \perp DM$ через отношения длин отрезков.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ в системе координат. Пусть его сторона равна $a$. Для удобства разместим вершины в точках $D(0, 0)$, $A(0, a)$, $B(a, a)$, $C(a, 0)$.

Точка $M$ принадлежит стороне $AB$. Пусть длина отрезка $AM = m$. Тогда координаты точки $M$ будут $(m, a)$.

Точка $N$ принадлежит стороне $BC$. Пусть длина отрезка $BN = n$. Тогда координаты точки $N$ будут $(a, a-n)$.

Найдем координаты векторов $\vec{DM}$ и $\vec{AN}$:
$\vec{DM} = (m-0, a-0) = (m, a)$.
$\vec{AN} = (a-0, (a-n)-a) = (a, -n)$.

Условие перпендикулярности прямых $AN$ и $DM$ эквивалентно тому, что скалярное произведение векторов $\vec{AN}$ и $\vec{DM}$ равно нулю:
$\vec{AN} \cdot \vec{DM} = 0$
$a \cdot m + (-n) \cdot a = 0$
$am - an = 0$
$a(m - n) = 0$

Так как $a$ (сторона квадрата) не равна нулю, то $m - n = 0$, откуда $m = n$. Это означает, что $AM = BN$.

Поскольку в квадрате $AB = BC$, равенство $AM = BN$ эквивалентно равенству отношений:
$\frac{AM}{AB} = \frac{BN}{BC}$

Это соотношение сохраняется при параллельном проецировании. Следовательно, для изображений $A_1B_1C_1D_1$, $M_1$ и $N_1$ должно выполняться аналогичное равенство:
$\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{B_1N_1}{B_1C_1}$

Таким образом, задача сводится к построению точки $N_1$ на стороне $B_1C_1$ так, чтобы выполнялось данное соотношение.

Построение

1. Проведем диагональ $A_1C_1$.

2. Через точку $M_1$ на стороне $A_1B_1$ проведем прямую, параллельную стороне $B_1C_1$. Обозначим точку пересечения этой прямой с диагональю $A_1C_1$ как $P$.

3. Через точку $P$ проведем прямую, параллельную стороне $A_1B_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $B_1C_1$ и есть искомая точка $N_1$.

Обоснование

Рассмотрим $\triangle A_1B_1C_1$. По построению, $M_1P \parallel B_1C_1$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), примененной к углу $\angle B_1A_1C_1$, имеем:
$\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{A_1P}{A_1C_1}$

Далее, по построению, $PN_1 \parallel A_1B_1$. Применим ту же теорему к углу $\angle A_1C_1B_1$:
$\frac{C_1N_1}{C_1B_1} = \frac{C_1P}{C_1A_1}$

Преобразуем второе равенство:
$1 - \frac{C_1N_1}{C_1B_1} = 1 - \frac{C_1P}{C_1A_1}$
$\frac{C_1B_1 - C_1N_1}{C_1B_1} = \frac{C_1A_1 - C_1P}{C_1A_1}$
$\frac{B_1N_1}{B_1C_1} = \frac{A_1P}{A_1C_1}$

Объединяя первое и преобразованное второе равенства, получаем:
$\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{B_1N_1}{B_1C_1}$

Это доказывает, что построенная точка $N_1$ удовлетворяет требуемому условию.

Ответ: Изображение точки $N_1$ строится следующим образом: 1) проводится диагональ $A_1C_1$; 2) через точку $M_1$ проводится прямая, параллельная $B_1C_1$, до пересечения с диагональю $A_1C_1$ в точке $P$; 3) через точку $P$ проводится прямая, параллельная $A_1B_1$, до пересечения со стороной $B_1C_1$ в искомой точке $N_1$.

8.29. Параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 8.40) является изображением квадрата $ABCD$, точка $K_1$ — изображение точки $K$, принадлежащей стороне $CD$. Постройте изображение точки $F$, принадлежащей стороне $AD$, такой, что $BF = AK$.

Рис. 8.40

Анализ

По условию, параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением (параллельной проекцией) квадрата $ABCD$. Точка $K_1$ на стороне $C_1D_1$ — изображение точки $K$ на стороне $CD$. Требуется построить изображение $F_1$ точки $F$, принадлежащей стороне $AD$, при условии, что в квадрате $ABCD$ выполняется равенство $BF = AK$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Так как углы квадрата прямые, мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам $\triangle ABF$ (с прямым углом при вершине $A$) и $\triangle DAK$ (с прямым углом при вершине $D$).
Из $\triangle ABF$ получаем: $BF^2 = AB^2 + AF^2$.
Из $\triangle DAK$ получаем: $AK^2 = AD^2 + DK^2$.

По условию $BF = AK$, следовательно, $BF^2 = AK^2$. Приравнивая правые части выражений, получаем:
$AB^2 + AF^2 = AD^2 + DK^2$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его стороны равны: $AB = AD$. Учитывая это, равенство упрощается до:
$AF^2 = DK^2$.
Так как $AF$ и $DK$ — длины отрезков, они неотрицательны, поэтому $AF = DK$.

Это равенство можно переписать иначе. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $AD$, а точка $K$ — на отрезке $CD$, то $AF = AD - DF$ и $DK = DC - CK$. Подставив это в $AF = DK$, получим:
$AD - DF = DC - CK$.
Так как $AD = DC$, приходим к равенству $DF = CK$.

Параллельная проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Так как $DA=CD$ (стороны квадрата), из равенства $DF = CK$ следует равенство отношений:
$\frac{DF}{DA} = \frac{CK}{CD}$.

Это отношение сохранится и для изображения:
$\frac{D_1F_1}{D_1A_1} = \frac{C_1K_1}{C_1D_1}$.
Таким образом, задача сводится к построению на отрезке $A_1D_1$ такой точки $F_1$, которая удовлетворяет данному соотношению.

Построение

1. Проведем диагональ $A_1C_1$ параллелограмма.
2. Через точку $K_1$ проведем прямую, параллельную стороне $A_1D_1$. Точку пересечения этой прямой с диагональю $A_1C_1$ обозначим $P_1$.
3. Через точку $P_1$ проведем прямую, параллельную стороне $D_1C_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1D_1$ и будет искомой точкой $F_1$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1D_1C_1$.
По построению, прямая $K_1P_1$ параллельна стороне $A_1D_1$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), примененной к углу $D_1C_1A_1$ и параллельным прямым $K_1P_1$ и $A_1D_1$, имеем:
$\frac{C_1K_1}{C_1D_1} = \frac{C_1P_1}{C_1A_1}$.

Далее, по построению, прямая $P_1F_1$ параллельна стороне $D_1C_1$. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу $D_1A_1C_1$ и параллельным прямым $P_1F_1$ и $D_1C_1$, имеем:
$\frac{D_1F_1}{D_1A_1} = \frac{C_1P_1}{C_1A_1}$.

Из двух полученных равенств следует, что:
$\frac{D_1F_1}{D_1A_1} = \frac{C_1K_1}{C_1D_1}$.
Это и есть соотношение, которое является изображением исходного условия $BF = AK$. Следовательно, построенная точка $F_1$ является искомым изображением точки $F$.

Ответ: Искомая точка $F_1$ строится следующим образом: 1) провести диагональ $A_1C_1$; 2) через точку $K_1$ провести прямую, параллельную $A_1D_1$, до пересечения с диагональю $A_1C_1$ в точке $P_1$; 3) через точку $P_1$ провести прямую, параллельную $D_1C_1$, до пересечения со стороной $A_1D_1$. Точка пересечения и будет искомой точкой $F_1$.

8.30. Четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ (рис. 8.41) является изображением равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$), в которую можно вписать окружность. Постройте изображение точек касания сторон трапеции со вписанной окружностью.

Рис. 8.41

Пусть $ABCD$ — исходная равнобокая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($BC \parallel AD$), в которую можно вписать окружность. Пусть $A_1B_1C_1D_1$ — её изображение (параллельная проекция). Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, CD, AD$ как $K, L, M, N$ соответственно. Нам необходимо построить изображения этих точек, то есть $K_1, L_1, M_1, N_1$.

Для построения будем использовать ключевые свойства параллельного проектирования: 1. Параллельность прямых сохраняется. 2. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. В частности, середина отрезка проецируется в середину его изображения.

В равнобокой трапеции ось симметрии перпендикулярна основаниям и проходит через их середины. Центр вписанной окружности всегда лежит на этой оси. Следовательно, точки касания окружности с основаниями $AD$ и $BC$ являются серединами этих оснований. Таким образом, точка $L$ — середина отрезка $BC$, а точка $N$ — середина отрезка $AD$.

Поскольку параллельное проектирование сохраняет середину отрезка, то изображение точки $L$, точка $L_1$, будет являться серединой отрезка $B_1C_1$, а изображение точки $N$, точка $N_1$, — серединой отрезка $A_1D_1$.

Построение:
1. Построить точку $L_1$ как середину отрезка $B_1C_1$.
2. Построить точку $N_1$ как середину отрезка $A_1D_1$.

Ответ: Изображения точек касания на основаниях $L_1$ и $N_1$ являются серединами отрезков $B_1C_1$ и $A_1D_1$ соответственно.

Рассмотрим свойства точек касания на боковых сторонах в исходной трапеции $ABCD$. По свойству касательных, проведённых из одной вершины к вписанной окружности, имеем: $AK = AN$ и $BK = BL$.

Так как $L$ и $N$ — середины оснований, то $AN = \frac{1}{2}AD$ и $BL = \frac{1}{2}BC$. Отсюда следует, что $AK = \frac{1}{2}AD$ и $BK = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, точка $K$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $AK:KB = (\frac{1}{2}AD) : (\frac{1}{2}BC) = AD:BC$.

Так как отношение длин параллельных отрезков сохраняется при параллельном проектировании, то $AD:BC = A_1D_1:B_1C_1$. Следовательно, искомая точка $K_1$ должна делить отрезок $A_1B_1$ в отношении $A_1K_1:K_1B_1 = A_1D_1:B_1C_1$.

Построение точки $K_1$ (с помощью теоремы о пропорциональных отрезках):
1. Проведём из точки $A_1$ произвольный луч, не лежащий на прямой $A_1B_1$.
2. На этом луче отложим от точки $A_1$ отрезок $A_1P$, равный по длине отрезку $A_1D_1$.
3. На этом же луче от точки $P$ в том же направлении отложим отрезок $PQ$, равный по длине отрезку $B_1C_1$.
4. Соединим точки $Q$ и $B_1$.
5. Через точку $P$ проведём прямую, параллельную $QB_1$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $A_1B_1$ и будет искомой точкой $K_1$.

Построение точки $M_1$.
Можно построить точку $M_1$ аналогично, разделив отрезок $D_1C_1$ в отношении $D_1M_1:M_1C_1 = A_1D_1:B_1C_1$. Однако есть более простой способ. В равнобокой трапеции $ABCD$ отрезок $KM$, соединяющий точки касания на боковых сторонах, параллелен основаниям $AD$ и $BC$. Так как параллельность прямых сохраняется при проектировании, то и в изображении отрезок $K_1M_1$ должен быть параллелен основаниям $A_1D_1$ и $B_1C_1$.

Альтернативное построение точки $M_1$:
1. После построения точки $K_1$ проводим через неё прямую, параллельную $A_1D_1$.
2. Точка пересечения этой прямой со стороной $C_1D_1$ и будет искомой точкой $M_1$.

Ответ: Изображение точки касания $K_1$ делит отрезок $A_1B_1$ в отношении $A_1K_1:K_1B_1 = A_1D_1:B_1C_1$ и строится с помощью теоремы о пропорциональных отрезках. Изображение точки касания $M_1$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $K_1$ параллельно основанию $A_1D_1$, со стороной $C_1D_1$.

8.31. Четырёхугольник $A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 8.42) является изображением прямоугольной трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$), точка $O_1$ — изображение центра окружности, вписанной в эту трапецию. Постройте изображение точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

Рис. 8.42

Для построения изображений точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции с вписанной окружностью и свойствами параллельного проектирования (которое сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков на параллельных прямых, в частности, середину отрезка).

Пусть $ABCD$ — исходная прямоугольная трапеция ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$), а $A_1B_1C_1D_1$ — её изображение. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $O_1$ — его изображение. Обозначим точки касания на сторонах $AB, BC, CD, AD$ как $K, L, M, N$ соответственно. Нам нужно построить их изображения $K_1, L_1, M_1, N_1$.

1. Построение точки касания $K_1$ на стороне $A_1B_1$

В прямоугольной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$, перпендикулярная основаниям, является высотой и равна диаметру вписанной окружности ($AB = 2r$, где $r$ — радиус). Центр окружности $O$ удалён от стороны $AB$ на расстояние $r$. Радиус $OK$, проведённый к точке касания $K$ на стороне $AB$, перпендикулярен этой стороне. Так как и $AD \perp AB$, и $BC \perp AB$, то четырёхугольники $AKON$ и $BKOL$ являются квадратами со стороной $r$. Отсюда следует, что $AK = BK = r$, значит, точка $K$ является серединой отрезка $AB$.

При параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его изображения. Следовательно, точка $K_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$.

Построение: Строим середину отрезка $A_1B_1$ и обозначаем её $K_1$.

2. Построение точек касания $L_1$ на стороне $B_1C_1$ и $N_1$ на стороне $A_1D_1$

Радиусы, проведённые в точки касания $L$ и $N$ на параллельных основаниях $BC$ и $AD$, перпендикулярны этим основаниям. Следовательно, отрезок $LN$ является диаметром окружности и параллелен боковой стороне $AB$ ($LN \parallel AB$). Центр окружности $O$ является серединой этого диаметра.

При параллельном проектировании параллельность прямых сохраняется. Значит, изображение $L_1N_1$ будет параллельно изображению $A_1B_1$, и изображение центра $O_1$ будет лежать на отрезке $L_1N_1$.

Построение: Через точку $O_1$ проводим прямую, параллельную стороне $A_1B_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $B_1C_1$ есть точка $L_1$. Точка пересечения этой же прямой со стороной $A_1D_1$ есть точка $N_1$.

3. Построение точки касания $M_1$ на стороне $C_1D_1$

Воспользуемся свойством любого описанного четырёхугольника: диагонали четырёхугольника ($AC$ и $BD$) и прямые, соединяющие точки касания на противоположных сторонах ($KM$ и $LN$), пересекаются в одной точке.

Так как при параллельном проектировании свойство пересечения прямых в одной точке сохраняется, то изображения этих прямых — $A_1C_1$, $B_1D_1$, $K_1M_1$ и $L_1N_1$ — также должны пересекаться в одной точке.

Построение:

1. Проводим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ в четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$. Находим точку их пересечения $P_1$.
2. Точка $K_1$ нами уже построена. Согласно свойству, прямая $K_1M_1$ должна пройти через точку $P_1$.
3. Проводим прямую через точки $K_1$ и $P_1$.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной $C_1D_1$ и будет искомой точкой $M_1$.

Таким образом, мы построили изображения всех четырёх точек касания.

Ответ: Искомые точки $K_1, L_1, M_1, N_1$ строятся следующим образом:
1. $K_1$ — середина отрезка $A_1B_1$.
2. $L_1$ и $N_1$ — точки пересечения прямой, проходящей через $O_1$ параллельно $A_1B_1$, со сторонами $B_1C_1$ и $A_1D_1$ соответственно.
3. $M_1$ — точка пересечения стороны $C_1D_1$ с прямой, проходящей через точку $K_1$ и точку пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$.

8.32. Постройте изображение призмы $ABCA_1B_1C_1$, если на рисунке 8.43 точки $M, N, K, F$ являются изображениями середин отрезков $BB_1$, $CC_1$, $AB$ и $A_1C_1$ соответственно.

Рис. 8.43

Для построения изображения призмы $ABCA_1B_1C_1$ воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве. По условию, точки $M, N, K, F$ являются серединами отрезков $BB_1, CC_1, AB$ и $A_1C_1$ соответственно. Это можно записать в векторной форме:

• $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OB_1})$
• $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OC_1})$
• $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$
• $\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OA_1} + \vec{OC_1})$

Анализ

1. Найдем вектор $\vec{MN}$:
$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OC_1}) - \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OB_1}) = \frac{1}{2}((\vec{OC} - \vec{OB}) + (\vec{OC_1} - \vec{OB_1}))$
Так как $ABCA_1B_1C_1$ — призма, то ее основания параллельны и равны, следовательно, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$.
Тогда $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BC}$.
Таким образом, вектор $\vec{MN}$ равен вектору стороны основания призмы $\vec{BC}$.

2. Найдем вектор $\vec{KF}$:
$\vec{KF} = \vec{OF} - \vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA_1} + \vec{OC_1}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{2}((\vec{OA_1} - \vec{OA}) + (\vec{OC_1} - \vec{OB}))$
В призме боковые ребра параллельны и равны, то есть $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Обозначим этот вектор как $\vec{v}$.
Тогда $\vec{OA_1} - \vec{OA} = \vec{AA_1} = \vec{v}$.
Вектор $\vec{OC_1} - \vec{OB}$ можно выразить как $\vec{OC_1} - \vec{OB_1} + \vec{OB_1} - \vec{OB} = \vec{B_1C_1} + \vec{BB_1} = \vec{BC} + \vec{v}$.
Подставляя это в выражение для $\vec{KF}$:
$\vec{KF} = \frac{1}{2}(\vec{v} + (\vec{BC} + \vec{v})) = \frac{1}{2}(2\vec{v} + \vec{BC}) = \vec{v} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Мы уже выяснили, что $\vec{BC} = \vec{MN}$. Следовательно:
$\vec{KF} = \vec{v} + \frac{1}{2}\vec{MN}$.
Отсюда можно выразить вектор бокового ребра $\vec{v}$:
$\vec{v} = \vec{KF} - \frac{1}{2}\vec{MN}$.

Теперь, зная векторы $\vec{BC}$ и $\vec{v}$, мы можем выполнить построение.

Построение

1. Находим вектор бокового ребра призмы $\vec{v} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Для этого строим вектор $\frac{1}{2}\vec{MN}$, отложенный от точки $K$. Пусть его конец будет в точке $P$. Тогда вектор $\vec{PF}$ будет искомым вектором $\vec{v}$, так как $\vec{v} = \vec{KF} - \vec{KP} = \vec{PF}$.
2. Строим вершины $B$ и $B_1$. Точка $M$ — середина отрезка $BB_1$. Откладываем от точки $M$ векторы $\frac{1}{2}\vec{v}$ и $-\frac{1}{2}\vec{v}$. Их концы будут соответственно точками $B_1$ и $B$.
3. Строим вершины $C$ и $C_1$. Точка $N$ — середина отрезка $CC_1$. Аналогично, откладываем от точки $N$ векторы $\frac{1}{2}\vec{v}$ и $-\frac{1}{2}\vec{v}$, получая точки $C_1$ и $C$.
4. Строим вершину $A$. Точка $K$ — середина отрезка $AB$. Значит, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $K$. Строим точку $A$ по правилу $\vec{OA} = \vec{OK} + \vec{BK} = \vec{OK} + (\vec{OK} - \vec{OB}) = 2\vec{OK} - \vec{OB}$.
5. Строим вершину $A_1$. Точка $F$ — середина отрезка $A_1C_1$. Значит, точка $A_1$ симметрична точке $C_1$ относительно точки $F$.
6. Соединяем все полученные вершины: $A, B, C$ — нижнее основание, $A_1, B_1, C_1$ — верхнее основание, $AA_1, BB_1, CC_1$ — боковые ребра.

Ниже представлен результат построения:

Ответ: Изображение призмы построено на основании векторного анализа и представлено на рисунке выше.