Страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какая фигура является изображением треугольника? параллелограмма? трапеции?

2. Опишите, как построить изображение призмы; прямоугольного параллелепипеда.

3. Какая фигура является изображением тетраэдра?

8.1. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением прямоугольника $ABCD$ (рис. 8.23). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$.

Рис. 8.23

Поскольку параллельная проекция сохраняет свойство точки быть серединой отрезка и свойство прямых пересекаться в одной точке, мы можем использовать эти свойства для построения искомого изображения.

Пусть в исходном прямоугольнике $ABCD$ точка $O$ является точкой пересечения диагоналей, а $OM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $BC$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $BOC$ является равнобедренным ($OB = OC$). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ (основание перпендикуляра) является серединой стороны $BC$.

Изображением прямоугольника $ABCD$ является параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$. Изображением перпендикуляра $OM$ будет отрезок $O_1M_1$, где $O_1$ — изображение точки $O$, а $M_1$ — изображение точки $M$.

Таким образом, задача сводится к построению изображений точки $O$ и точки $M$.

Построение:

1. Найдем изображение точки пересечения диагоналей $O_1$. Для этого в параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ проведем диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Точка их пересечения $O_1$ и будет изображением центра прямоугольника $O$, так как параллельная проекция сохраняет пересечение прямых.
2. Найдем изображение точки $M_1$. Так как $M$ — середина стороны $BC$, то ее изображение $M_1$ будет серединой отрезка $B_1C_1$ (по свойству параллельной проекции, которое сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой). Найдем середину отрезка $B_1C_1$ и обозначим ее $M_1$.
3. Соединим точки $O_1$ и $M_1$. Отрезок $O_1M_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$.

Ответ: Искомым изображением является отрезок $O_1M_1$, где $O_1$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, а $M_1$ - середина стороны $B_1C_1$.

8.2. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$ (рис. 8.24). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет $AC$.

Рис. 8.24

Пусть данный треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$, полученным в результате параллельного проектирования. Согласно условию, $AB$ — гипотенуза, следовательно, угол при вершине $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), а $AC$ и $BC$ — катеты.

Задача состоит в построении изображения перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы $AB$ на катет $AC$.

Рассмотрим свойства этого перпендикуляра в исходном треугольнике $ABC$. Обозначим середину гипотенузы $AB$ точкой $M$. Пусть $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на катет $AC$, где точка $H$ лежит на отрезке $AC$. По определению, $MH \perp AC$.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, его катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Так как две прямые $MH$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу: $MH \parallel BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MH$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллелен стороне $BC$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), точка $H$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, искомый перпендикуляр $MH$ является средней линией треугольника $ABC$, соединяющей середины сторон $AB$ и $AC$.

При параллельном проектировании сохраняется свойство точки быть серединой отрезка. Это означает, что образ середины отрезка совпадает с серединой образа отрезка.

Следовательно, для построения изображения перпендикуляра $MH$ (то есть средней линии) необходимо построить отрезок $M_1H_1$, где $M_1$ — середина образа гипотенузы ($A_1B_1$), а $H_1$ — середина образа катета ($A_1C_1$).

Построение

1. Находим точку $M_1$ — середину отрезка $A_1B_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$) или измерив длину $A_1B_1$ и отложив от вершины $A_1$ половину этой длины.
2. Аналогичным образом находим точку $H_1$ — середину отрезка $A_1C_1$.
3. Соединяем точки $M_1$ и $H_1$ отрезком.

Полученный отрезок $M_1H_1$ и является искомым изображением перпендикуляра.

Ответ: Изображением перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет $AC$, является отрезок, соединяющий середину отрезка $A_1B_1$ с серединой отрезка $A_1C_1$.

8.3. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$), точка $M_1$ — изображение некоторой точки $M$ отрезка $AB$ (рис. 8.25). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Рис. 8.25

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и свойствами параллельного проектирования.

В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) медиана $BK$, проведенная к основанию $AC$, является также и высотой. Следовательно, $BK \perp AC$. Пусть $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на основание $AC$ ($H \in AC$). Так как прямые $MH$ и $BK$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу: $MH \parallel BK$.

При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, а также сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Из этих свойств следует, что:
1) Изображение $M_1H_1$ перпендикуляра $MH$ должно быть параллельно изображению $B_1K_1$ высоты $BK$.
2) Изображение $K_1$ середины $K$ отрезка $AC$ будет являться серединой изображения $A_1C_1$.

Таким образом, для построения изображения перпендикуляра необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти точку $K_1$ — середину отрезка $A_1C_1$.
2. Провести отрезок $B_1K_1$. Этот отрезок является изображением высоты (и медианы) $BK$ исходного треугольника.
3. Через точку $M_1$ провести прямую, параллельную отрезку $B_1K_1$.
4. Точку пересечения построенной прямой с отрезком $A_1C_1$ обозначить $H_1$.

Полученный отрезок $M_1H_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Ответ: Искомое изображение — это отрезок $M_1H_1$, где $H_1$ — точка на отрезке $A_1C_1$, построенная так, что $M_1H_1 \parallel B_1K_1$, а $K_1$ — середина отрезка $A_1C_1$.