Номер 8.2, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.2. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$ (рис. 8.24). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет $AC$.

Рис. 8.24

Пусть данный треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$, полученным в результате параллельного проектирования. Согласно условию, $AB$ — гипотенуза, следовательно, угол при вершине $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), а $AC$ и $BC$ — катеты.

Задача состоит в построении изображения перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы $AB$ на катет $AC$.

Рассмотрим свойства этого перпендикуляра в исходном треугольнике $ABC$. Обозначим середину гипотенузы $AB$ точкой $M$. Пусть $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на катет $AC$, где точка $H$ лежит на отрезке $AC$. По определению, $MH \perp AC$.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, его катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Так как две прямые $MH$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу: $MH \parallel BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MH$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллелен стороне $BC$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), точка $H$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, искомый перпендикуляр $MH$ является средней линией треугольника $ABC$, соединяющей середины сторон $AB$ и $AC$.

При параллельном проектировании сохраняется свойство точки быть серединой отрезка. Это означает, что образ середины отрезка совпадает с серединой образа отрезка.

Следовательно, для построения изображения перпендикуляра $MH$ (то есть средней линии) необходимо построить отрезок $M_1H_1$, где $M_1$ — середина образа гипотенузы ($A_1B_1$), а $H_1$ — середина образа катета ($A_1C_1$).

Построение

1. Находим точку $M_1$ — середину отрезка $A_1B_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$) или измерив длину $A_1B_1$ и отложив от вершины $A_1$ половину этой длины.
2. Аналогичным образом находим точку $H_1$ — середину отрезка $A_1C_1$.
3. Соединяем точки $M_1$ и $H_1$ отрезком.

Полученный отрезок $M_1H_1$ и является искомым изображением перпендикуляра.

Ответ: Изображением перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет $AC$, является отрезок, соединяющий середину отрезка $A_1B_1$ с серединой отрезка $A_1C_1$.